1.ª Prova Parcelar de Cálculo Diferencial e Integral I, turma EMC1 T1 (versão 1) · ISPTEC · 2017

1.ª Prova Parcelar de Cálculo Diferencial e integral I, do curso de Engenharia Mecânica no Instituto Superior Politécnico de Tecnologias e Ciências (ISPTEC), 2017. Docente: Prof. José Maria Samuco.

Enunciado da 1.ª prova parcelar (versão 1), de 05/05/2017, com resolução e critérios de classificação. Tem 5 questões: domínio e teorema de Bolzano para f(x)=−3+√(−x)+log₂(4−x), inversa e limite de arccos((1−x)/(1+x)), domínio de f/g e limite no infinito, continuidade com parâmetros α e β, e derivada da função inversa.

Tipo

1.ª Prova Parcelar

Cadeira

Cálculo Diferencial e integral I

Curso

Engenharia Mecânica

Universidade

Instituto Superior Politécnico de Tecnologias e Ciências

Ano

2017

Docente

Prof. José Maria Samuco

Ficheiro

PDF, 5 páginas

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1.ª Prova ParcelarDuração: 150 minutosDisciplinaCálculo Diferencial e Integral ILicenciatura em Engenharia Mecânica Data: 05/05/2017CursoJosé Maria Samuco Turma: EMC1 T1DocenteNome do aluno N.º:• Na resposta a cada questão proposta, apresente todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificaçõesnecessárias.• Responda com uma esferográfica de tinta indelével, de cor preta ou azul.• Não é permitido o uso de calculadora nem de corrector.• Identifique as suas respostas com o número apresentado no enunciado. As respostas não identificadas serãoclassificadas com zero valores.• Apresente a sua resposta, a cada uma das às oito questões propostas, em páginas diferentes da folha derespostas, preservando a ordem.• Na resolução das questões que envolvem o cálculo de limites, não é permitido o uso da regra de L’Hospital/regrade Cauchy nem o uso de infinitésimos equivalentes. O não cumprimento desta norma, implica a atribuiaçãode zero valores a todas as etapas que dependam da aplicação das regras atrás referidas.1. Considere a função f definida por f(x) = −3 + −x+ log (4−x).21.1 (2 valores) Determine o domínio da função f.Apresente o resultado sob a forma de intervalo de números reais.Resolução/critério de classificação:Escrever D = {x ∈ R: −x ≥ 0∧4−x > 0}...................................... 0,8fObter D = {x ∈ R: x ≤ 0∧x < 4}............................................... 0,6fEscrever D = {x ∈ R: x ≤ 0}.................................................... 0,4fEscrever D = ]−∞,0]............................................................ 0,2f

aTurma: EMC1 T1 - 1. Prova Parcelar de Cálculo Dif. e Integral I - Pág. 2 de 5 05/05/20171.2 (1 valor) Mostre que a função f tem pelo menos um zero no intervalo ]−4,0[.Sugestão: Utilize o teorema de Bolzano ou o seu corolário.Resolução/critério de classificação:A função f é contínua em R, porque é definida pelo soma de funções contínuas nesse0conjunto. Em particular, f é contínua no intervalo [−4,0] ⊂ R.0Por outro lado, tem-se) ()(4 + log (4 + 4) × −3 + 0 + log (4−0) = −2 < 0f(−4)×f(0) =−3 +22Portanto, atendendo ao corolário do teorema de Bolzano, conclui-se que a função f tempelo menos um zero no intervalo ]−4,0[.Justificar a continuidade de f no intervalo [−4,0]................................. 0,4Calcular f(−4)×f(0)............................................................. 0,4Conclusão......................................................................... 0,21−x.2.Considere a função injectivahdefinida, em [0,+∞[, porh(x) = arccos1 +x−12.1(3 valores) Determineh(x), expressão analítica da função inversa de h, para x ∈ [0, π[.Resolução/critério de classificação:1−xEscrever y = arccos...................................................... 0,21 +x1−xEscrever cosy =...............................................................11 +xEscrever cosy +xcosy = 1−x.................................................... 0,61−cosyObter x =............................................................... 0,81 + cosy1−cosx−1Concluir que h (x) =.................................................. 0,41 + cosx2.2 (3 valores) Calcule lim h(x).x→+∞Resolução/critério de classificação:1()()−11−x1−xxlimh(x) =limarccos= arccoslim= arccoslim =1x→+∞x→+∞x→+∞x→+∞1 +x1 +x+ 1x

aTurma: EMC1 T1 - 1. Prova Parcelar de Cálculo Dif. e Integral I - Pág. 3 de 5 05/05/20170−1= arccos = arccos(−1) = π0 + 1Levantar a indeterminação........................................................ 1,61−x................................................................. 0,8Obterlimx→+∞ 1 +xObter lim h(x)................................................................. 0,6x→+∞3. Sejam f e g duas funções reais de variável real.Sabe-se que: √2x −1;•a funçãogé definida porg(x) =x−1• o domínio da função f é ]− ∞,0].f.3.1(3 valores) Determine o domínio da funçãogApresente o domínio sob a forma de intervalo de números reais.Resolução/critério de classificação:2EscreverD=x∈R:x−16= 0∧x −1 ≥ 0................................... 0,6gEscrever D = x ∈ R: x 6= 1∧(x ≤ −1∨x ≥ 1).................... (0,2 + 0,6)0,8gEscrever D =]− ∞,−1]∪]1,+∞[................................................. 0,4g2x −1Escrever = 0 ⇐⇒ x = −1................................................ 0,4x−1Escrever D = (D ∩D)\ {x ∈ D: g(x) = 0}................................... 0,2ffgggEscrever D = ]− ∞,0]∩ ]− ∞,−1]∪]1,+∞[ \ {−1}...................... 0,2fgEscrever D =]− ∞,−1[......................................................... 0,4fg3.2 (3 valores) Calcule lim g(x).x→+∞

aTurma: EMC1 T1 - 1. Prova Parcelar de Cálculo Dif. e Integral I - Pág. 4 de 5 05/05/2017Resolução/critério de classificação:22x −1 1x−1√ √ 1−2 22x−1xxxlimg(x) =lim=lim = lim = lim =x−1 1 1x→+∞x→+∞x→+∞x→+∞x→+∞x−11− 1−x x x√1−0= 11−0Levantar a indeterminação........................................................ 2,4Obter lim g(x).................................................................. 0,6x→+∞4. (3 valores) Para um certo valor de α e para um certo valor de β, é contínua em x = 0 a funçãog, definida por 2xe −1 se x < 0 xg(x) = α se x = 0 ln(x+ 1) se x > 0β−xDetermine os valores de α e de β.Resolução/critério de classificação:2xe −1Escrever α = lim.............................................................. 0,4−x→0 x2xe −1Escrever α = 2× lim......................................................... 0,6−2x→0 2xObter α = 2............................................................................0,22xln(x+ 1)e −1Escrever lim β − = lim......................................... 0,4+ −x→0x→0x xln(x+ 1)Escrever β − lim = 2....................................................... 0,2+x→0 xuEscrever β − lim = 2 (considerando u = ln(x+ 1))............................. 0,6u+u→0e −1

aTurma: EMC1 T1 - 1. Prova Parcelar de Cálculo Dif. e Integral I - Pág. 5 de 5 05/05/20171Escrever β − lim = 2.......................................................... 0,2u+ e −1u→0uObter β −1 = 2........................................................................ 0,2Concluir que β = 3..................................................................... 0,25. (2 valores) Seja f uma função real de variável real contínua e injectiva, de domínio D.Considere que:• a ∈ D;• y = f(x) e f(a) = b;f(x)−f(a)= m (m ∈ R\ {0});•limx→a x−a−1•f é a função inversa de f.−1 −1f(y)−f(b)Calcule lim. Apresente o resultado em função de m.y→b y −b−1 −1f(y)−f(b)Sugestão: Comece por escrever lim em função da variável x.y→b y −bResolução/critério de classificação:−1 −1f(y)−f(b) x−a 1 1lim = lim = lim =.x→a x→ay→b f(x)−f(a)y−bf(x)−f(a) mx−a−1 −1f(y)−f(b) x−aEscrever lim = lim....................................... 1,2x→ay→by−b f(x)−f(a)1x−a= lim...........................................0,6Escrever limx→ax→a f(x)−f(a)f(x)−f(a)x−a−1 −1f(y)−f(b) 1Concluir que lim =................................................ 0,2y→b y −b mFIM