Ficha de Exercícios - CAP.1 – INTEGRAIS MÚLTIPLAS
Lista de Exercícios de Cálculo Diferencial e Integral III, do curso de Engenharia Informática no Instituto Superior Politécnico de Tecnologias e Ciências (ISPTEC), 2026. Docente: Prof. WALDIK JAIME.
Primeiras linhas de Ficha de Exercícios - CAP.1 – INTEGRAIS MÚLTIPLAS
CÁLCULO DIFERENCIAL & INTEGRAL 3 1 EXERCÍCIOS DE CDI3 CAP.1 – INTEGRAIS MÚLTIPLAS I– INTEGRAL DUPLA 1.Calcular as seguintes integrais duplas com os domínios indicados (rectângulos): 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 [ ] [ ] [ ] [ ]𝒂)∬;𝑅=0,1×0,1;𝒃)∬;𝑅=0,1×0,1;3 2()𝑥+𝑦+1 2 2 2()𝑥+𝑦+1 𝑅 𝑅 2 𝑥𝑦 2[][]() [ ⁄ ] [ ]𝒄)∬𝑥𝑦𝑒𝑑𝑥𝑑𝑦;𝑅=0,1×0,2;;𝒅)∬𝑥𝑦𝑐𝑜𝑠𝑥𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦;𝑅=0,𝜋2×0,2 𝑅 𝑅 2.Calcular as seguintes integrais iteradas: 𝜋 2√1−𝑥3cos𝜃421112 2𝑑𝑦𝑥𝑑𝑦 2 2 2…
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- Tipo
- Lista de Exercícios
- Cadeira
- Cálculo Diferencial e Integral III
- Curso
- Engenharia Informática
- Universidade
- Instituto Superior Politécnico de Tecnologias e Ciências
- Ano
- 2026
- Docente
- Prof. WALDIK JAIME
- Ficheiro
- PDF, 8 páginas
- Desbloqueado
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CÁLCULO DIFERENCIAL & INTEGRAL 3 35.Calcular, onde R é a região do plano limitada pelas curvas indicadas:𝑥3 𝑦()𝒂)𝑦=1,𝑦=2,𝑦=𝑥𝑒𝑥=𝑦𝑒𝑓𝑥,𝑦=𝑒| | ()𝒃)0≤𝑦≤3−𝑥−2,0≤𝑥≤4𝑒𝑓𝑥,𝑦 = 𝑥 +𝑦√3||()𝒄)𝑥≤1𝑒𝑥≤𝑠𝑒𝑛𝑦,𝑓𝑥,𝑦=𝑥𝑠𝑒𝑛𝑦3𝑥| |𝒅)𝑦 ≤ 𝑥𝑒1 ≤ 𝑥 ≤ 2,𝑓(𝑥,𝑦) =2 2𝑥+𝑦𝑥 −𝑦,𝑠𝑒𝑥 < 12𝑥()()()()𝒆)𝑅é o trapézio de vértices0, 0,1, 1,2, 1𝑒2, 0, 𝑓(𝑥, 𝑦)={,𝑠𝑒𝑥 ≥ 1𝑥𝑦+12||| |()𝒇)𝑦≥𝑥𝑒𝑦≤ 3,𝑓𝑥,𝑦=𝑦−𝑥− 12 2 | | | |()𝒈)𝑥− 2+ (𝑦− 1)≤ 9,𝑓(𝑥,𝑦) =𝑥+𝑦𝑥()𝒉)𝑦=𝑥𝑡𝑔𝑥,𝑦=𝑥𝑒𝑓𝑥,𝑦 =2 2𝑥+𝑦𝑥,𝑠𝑒𝑦 ≤ −𝑥22()𝒊)𝑥+𝑦≤2,𝑥≤0𝑒𝑓𝑥,𝑦 = { 2𝑥,𝑠𝑒𝑦 > −𝑥2()()()()()√𝒋)𝑅é o quadrilátero de vértices1, 1,5, 1,10, 2𝑒2, 2,𝑓𝑥,𝑦=𝑥𝑦−𝑦𝜋𝑥 = 𝑎𝑐𝑜𝑠𝑡 2()𝒌)𝑅é limitado pelos eixos Ox e Oy e pela curva de equações {, 0 ≤ t ≤,𝑓𝑥,𝑦 = 𝑥 𝑦𝑦 = 𝑏𝑠𝑒𝑛𝑡2𝑥 = 𝑎(𝑡 − 𝑠𝑒𝑛𝑡)()𝒍)𝑅é limitado pela onda da linha {, 0 ≤ t ≤ 2π,𝑓𝑥,𝑦 = 𝑥𝑦 = 𝑎(1 − 𝑐𝑜𝑠𝑡)3 𝜋𝑥 = 𝑅𝑐𝑜𝑠𝑡()𝒎)𝑅é limitado pelos eixos Ox e Oy e pela curva de equações {, 0 ≤ t ≤,𝑓𝑥,𝑦 = 𝑥𝑦3𝑦 = 𝑅𝑠𝑒𝑛 𝑡 22 2 2||()𝒏)𝑥≥0,𝑥+𝑦−3≤1𝑒𝑓𝑥,𝑦=𝑥22√𝒐)−1≤𝑥≤2,−4−𝑥≤𝑦≤4−𝑥 𝑒𝑓(𝑥,𝑦) = 𝑥2 2 2||()𝒑)𝑥+𝑦+2𝑥−1≤2𝑒𝑓𝑥,𝑦=𝑥 +2𝑥2[][]||√𝒒)𝐷=−1,1×0,2𝑒𝑓(𝑥,𝑦)=𝑦−𝑥[ ] [ ] | |()𝒓)𝐷=0,𝜋×0,𝜋𝑒𝑓𝑥,𝑦=cos(𝑥+𝑦)WALDIK JAIMEISPTEC - 2026Veteraano
CÁLCULO DIFERENCIAL & INTEGRAL 3 46.Calcular, usando transformações lineares, onde R é a região do planolimitada pelas curvas indicadas:𝑥√() () () () ()𝑎)𝑅éoquadriláterodevértices0,0,0,1,3,2,3,3𝑒𝑓𝑥,𝑦 =3𝑦−2𝑥+1() () () ()𝑏)𝑅é otriângulodevértices0,1,2,5,3,4𝑒𝑓𝑥,𝑦 = 𝑦−𝑥√2 1()𝑐)𝑅étalque1≤𝑥+𝑦≤2,33𝑥≤𝑦≤2𝑥𝑒𝑓𝑥,𝑦 =3 𝑥𝑦√2𝑥()𝑑)𝑅élimitadopor𝑥𝑦=1,𝑦=𝑥+1𝑒𝑦=𝑥−1𝑒𝑓𝑥,𝑦 =2(𝑦−𝑥) +4√2 2||()𝑒)𝑅élimitadopor𝑥𝑦=1,𝑦−𝑥=1,𝑥−𝑦=1,(1º𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒)𝑒𝑓𝑥,𝑦=𝑥−𝑦() ()𝑓)𝑅é𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑎𝑑𝑜𝑝𝑜𝑟𝑥𝑦=1,𝑥𝑦=4,𝑦=𝑥,𝑦=4𝑥,1º𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟.𝑒𝑓𝑥,𝑦 = 1+𝑥𝑦√𝑥𝑦𝑥𝑒𝑠𝑒𝑛(𝑥𝑦−4)() ()𝑔)𝑅é𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑎𝑑𝑜𝑝𝑜𝑟𝑥𝑦=1,𝑥𝑦=4,𝑦=𝑥,𝑦=4𝑥,1º𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟.𝑒𝑓𝑥,𝑦 =𝑥+𝑦12222() ()ℎ)𝑅é𝑡𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒2𝑦−𝑥≥0,𝑦−2𝑥≤0,2𝑥−𝑦≥0,𝑥−2𝑦≤0,1º𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟.𝑒𝑓𝑥,𝑦 =2𝑥 +𝑦2 222−𝑥−𝑦−𝑥𝑦()𝑖)𝑅é𝑡𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒𝑥+𝑦+𝑥𝑦≤1𝑒𝑓𝑥,𝑦 = 𝑒3𝑥 −2𝑦+522()𝑗)𝑅é𝑡𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒(6𝑥−4𝑦−3)+(20𝑥+12𝑦−3)≤4𝑒𝑓𝑥,𝑦 =| |5𝑥+3𝑦−4+17.Calcular as seguintes integrais, passando às coordenadas polares.2 2 2 2 2 2222()()√𝒂)∬𝑎−𝑥−𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦;OndeRélimitadaporumafolhadalemniscata𝑥+𝑦=𝑎𝑥−𝑦,𝑅𝑥 ≥ 0()𝒃)Calcularaintegraldupladafunção𝑓𝑟,𝜃 = 𝑟sobreocampolimitadopelacardióide()𝑟=𝑎1+cos𝜃epelacircunferência𝑟 = 𝑎.(Considerarapartequenãocontémopólo).2 2 2 2√√𝑎−𝑥𝑅−𝑥𝑎𝑅2 222()√𝒄)∫𝑑𝑥∫𝑥+𝑦𝑑𝑦;𝒅)∫𝑑𝑥∫𝑙𝑛1+𝑥+𝑦𝑑𝑦;0 0 0 02 21−𝑥−𝑦2 2√𝒆)∬𝑑𝑥𝑑𝑦;OndeRélimitadapor𝑥+𝑦 ≤ 1,𝑥 ≥ 0,𝑦 ≥ 0.2 21+𝑥+𝑦𝑅2 2 2()𝒇)∬ℎ−2𝑥−3𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦;OndeRélimitadapor𝑥+𝑦≤𝑎.𝑅WALDIK JAIMEISPTEC - 2026Veteraano
CÁLCULO DIFERENCIAL & INTEGRAL 3 52 2222√𝒈)∬𝑎−𝑥−𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦;OndeRéocírculo𝑥+𝑦 ≤ 𝑎𝑥.𝑅𝑦 𝑥2 2 2 2𝒉)∬𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔()𝑑𝑥𝑑𝑦;OndeRéumapartedocírculo𝑥+𝑦≥1,𝑥+𝑦 ≤ 9,𝑦 ≥ 𝑒𝑥 3√𝑅𝑦 ≤ 𝑥 3.√422𝑥 𝑦 𝑥𝑦𝒊) ∬ 𝑥𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦; OndeRélimitadapelalinha ( +) =,situadanoprimeiroquadrante.√2 3 6√𝑅222𝑠𝑒𝑛(𝑥+𝑦)𝜋√2 2 2 2 2𝒋)∬𝑑𝑥𝑑𝑦;OndeRélimitadapor𝑥+𝑦=𝑒𝑥+𝑦=𝜋.2 2 4𝑥+𝑦√𝑅222 2 2𝑥 𝑦 𝑥 𝑦𝒌) ∬𝑑𝑥𝑑𝑦; OndeRéumcampolimitadopelacurva ( +) = −.2222𝑎 𝑏 ℎ 𝑘𝑅2 2() | | ()𝑙)∬𝑓𝑥,𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦,Rétalque𝑥+𝑦≤2𝑦,𝑦≥𝑥𝑒𝑓𝑥,𝑦 = 𝑥𝑦𝑅() ()𝑚)∬𝑓𝑥,𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦,Rélimitadopelaslinhas𝜌=1+𝑐𝑜𝑠𝜃,𝜌=21+𝑐𝑜𝑠𝜃,eixosdecoordenadase𝑅2 2()√𝑓𝑥,𝑦=𝑦𝑥+𝑦𝑦2 2 2 2 2 2() ()𝑛)∬𝑓𝑥,𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦,Rétalque𝑥+𝑦≥4,𝑥+𝑦≤16,𝑥+𝑦≤6𝑥𝑒𝑓𝑥,𝑦 =𝑥𝑅2 21−𝑥−𝑦2 2 √()()𝑜)∬𝑓𝑥,𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦,Rétalque𝑥+𝑦≤1,𝑥≥0,𝑦≥0𝑒𝑓𝑥,𝑦=2 21+𝑥+𝑦𝑅𝑥 𝑦2 2 2 2() ()𝑝)∬𝑓𝑥,𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦,𝑅é𝑡𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒𝑥+𝑦≥1,𝑥+𝑦≤9,𝑦≥,𝑦≤𝑥3𝑒𝑓𝑥,𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔√𝑥3√𝑅2 2 2 2 2 2 2 2 2()()()()√𝑞)∬𝑓𝑥,𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦,𝑅é𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑎𝑑𝑜𝑝𝑒𝑙𝑎𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎𝑥+𝑦=𝑎𝑥−𝑦𝑒𝑓𝑥,𝑦=𝑎−𝑥−𝑦𝑅2 2 2 2𝑥𝑦𝑥𝑦2√()()𝑟)∬𝑓𝑥,𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦,𝑅é𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑎𝑑𝑜𝑝𝑒𝑙𝑎𝐸𝑙𝑖𝑝𝑠𝑒+=1𝑒𝑓𝑥,𝑦=𝑥1− −2 2 2 2𝑎𝑏𝑎𝑏𝑅𝑥𝑦𝑥√2 2() ()𝑠)∬𝑓𝑥,𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦,𝑅é𝑡𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒(𝑥−1)+(𝑦−1)≤1,≤𝑦≤𝑥3𝑒𝑓𝑥,𝑦 =√2 2𝑥+𝑦3√𝑅𝑦2 2() ()𝑡)∬𝑓𝑥,𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦,𝑅é𝑡𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒𝑥+𝑦≥2,𝑥𝑦≤1,0≤𝑦≤2,0≤𝑥≤2𝑒𝑓𝑥,𝑦 =2 2𝑥+𝑦√𝑅WALDIK JAIMEISPTEC - 2026Veteraano
CÁLCULO DIFERENCIAL & INTEGRAL 3 612 2() ()𝑢)∬𝑓𝑥,𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦,𝑅é𝑡𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒𝑥+𝑦≤4𝑒𝑥+𝑦≤−1𝑒𝑓𝑥,𝑦 =2 2𝑥+𝑦√𝑅3 3() ()𝑣)∬𝑓𝑥,𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦,𝑅é𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑎𝑑𝑜𝑝𝑒𝑙𝑜𝑙𝑎ç𝑜𝑑𝑎𝑓𝑜𝑙ℎ𝑎𝑑𝑒𝐷𝑒𝑠𝑐𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠𝑥+𝑦=3𝑥𝑦𝑒𝑓𝑥,𝑦 = 1𝑅2 2 2 2() () | |𝑤)∬𝑓𝑥,𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦,𝑅é𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑎𝑑𝑜𝑝𝑜𝑟𝑥+𝑦≥2𝑥,𝑥+𝑦≥−2𝑥,0≤𝑦≤1𝑒𝑓𝑥,𝑦=𝑥𝑦𝑅2 2 2 2() | |𝑥)∬𝑓𝑥,𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦,𝑅é𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑎𝑑𝑜𝑝𝑜𝑟𝑥+𝑦≥4𝑥−3,𝑥+𝑦≥−4𝑥−3,0≤𝑦≤3−𝑥 𝑒𝑅()𝑓𝑥,𝑦 = 𝑦8.Calcular o volume do sólido limitado pelas superfícies indicadas:𝑎)𝑦 = 𝑥, 𝑦 = 2 𝑥, 𝑥 +𝑧 = 6𝑒𝑧 = 0.√√2 2 2𝑏)𝑧=𝑥+𝑦,𝑦=𝑥, 𝑦 = 1𝑒𝑧 = 0.2 2 2 2 2 2 2𝑐)𝑥+𝑦=𝑎e𝑥+𝑦−𝑧= −𝑎.2 2 2 2 2 2 2𝑑) 2(𝑥+𝑦) −𝑧= 0e𝑥+𝑦−𝑧= −𝑎.2 2 2 2 2 2𝑒) 2𝑎𝑧=𝑥+𝑦,𝑥+𝑦−𝑧=𝑎 e 𝑧 = 0.2 2 2 2 2 2𝑓) 2𝑎𝑧=𝑥+𝑦e𝑥+𝑦+𝑧= 3𝑎 (Considere a parte interna do parabolóide).2 2−𝑥+𝑦 2 2 2()𝑔)𝑧 = 𝑎.𝑒, 𝑥 +𝑦 = 𝑅 e pelo plano Oxy.2 2 2 2𝑥𝑦𝑥𝑦 𝑥ℎ)𝑧 = +, + = 2 e pelo plano Oxy.2222𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎9.Calcular a área da figura limitada por:2 cos𝜃𝑎)𝑟 = 1𝑒𝑟 = (fora da circunferência 𝑟 = 1)3√𝑏)𝑟 = 2(1 + cos𝜃)𝑒𝑟 = 2 cos𝜃.𝑐)𝑟 = 2(1 − cos𝜃)𝑒𝑟 = 2.𝑑) 1 ≤ 𝑟 ≤ 2𝑒𝑟 = 3𝑠𝑒𝑛(3𝜃), (apenas a pétala do Iº quadrante)2 2 2 2 2 2(𝑦 + 𝑎)𝑒) 𝑥+𝑦= 𝑎𝑒 (𝑥 + 𝑎)+= 𝑎, 𝑎 > 0WALDIK JAIMEISPTEC - 2026Veteraano
CÁLCULO DIFERENCIAL & INTEGRAL 3 710.Calcular, usando a integral dupla, a área e a massa da placa R definida, cuja densidadesuperficial é 𝛿 = 𝛿(𝑥,𝑦):33 2 2 3 3()𝑎)OndeRélimitadopor𝑥= 1, 𝑜𝑦= −𝑥, 𝑜𝑦=𝑥𝑒𝛿𝑥,𝑦 = 9𝑥 𝑦 −36𝑥 𝑦√2𝑦 𝑦2 ()𝑏)OndeRétalque1≤𝑥+≤9,𝑜𝑜0≤𝑦≤4𝑥𝑒𝛿𝑥,𝑦 =316𝑥2 222√()()𝑐)OndeRétalque0≤𝑥≤𝑅,𝑜𝑜0≤𝑦≤𝑅−𝑥𝑒𝛿𝑥,𝑦=𝑙𝑛1+𝑥+𝑦| |()()𝑒)OndeRétalque𝑟≥2𝑒𝑟≤21+𝑐𝑜𝑠𝜃𝑒𝛿𝑥,𝑦=𝑥| |()()𝑓)OndeRétalque𝑟≤2𝑒𝑟≤21−𝑐𝑜𝑠𝜃𝑒𝛿𝑥,𝑦=𝑦2 2 2 2|| () ()𝑔)OndeRétalque1≤𝑥+𝑦≤4,𝑥−𝑦≤1,3ºquadrante𝑒𝛿𝑥,𝑦 = 102 2 2 3() ()ℎ)OndeRélimitadopelalinha𝑥+𝑦=2𝑎𝑥𝑒𝛿𝑥,𝑦 = 𝑥11.Calcular o centro de massa das figuras planas e uniformes, sob as condições indicadas:2 2{| }()a)R=∀x,y∈Ry≤4−x,y−x+2≥0,x≥−12 2b)R:figuralimitadapelasparabolasy=4x+4ey = −2x+4c)R:figuralimitadapelascurvasy = x,x = 9,y = 0√3d)R:figuralimitadapelascurvas,8y=x,y = −x,4x+y = 9e)R:sectorcircularderaioigualaRcorrespondenteaoângulocentralα2x2 | |f)R:0≤y≤2,+y≥1ex ≤ 142 2yx2 2 2 2h)Rétalquex+y≥1,x−≤1,y − ≤ 1,x ≥ 0,y ≥ 02 212.Calcular os momentos de inércia das figuras planas e uniformes de massa total M e queestão nas condições indicadas:2a)Rélimitadopelascurvas𝑦 = 𝑎𝑥,00𝑥 = 𝑎,emrelaçãoàrecta𝑦 = −𝑎b)Rélimitadopelascurvas𝑥𝑦 = 4,00𝑥 +𝑦 = 5,emrelaçãoàrecta𝑦 = 𝑥c)RéocírculoderaioigualaR,comrespeitoasuatangented)Réotriânguloisóscelesdebase𝑎ealturaℎ,comrespeitoaoseuvérticeopostoábase𝑎()e)Rélimitadopelacardióide𝑟=𝑎1+𝑐𝑜𝑠𝜃,emrelaçãoaopolo()f)Rélimitadopelacardióide𝑟=𝑎1−𝑠𝑒𝑛𝜃,emrelaçãoaopolog)Réotriângulorectângulodecatetosaeb,emrelaçãoahipotenusaeemrelaçãoaocatetoah)Réosectorcirculardeângulocentral𝛽eraio𝑎,emrelação aorigemeaumraiodomesmoWALDIK JAIMEISPTEC - 2026Veteraano
CÁLCULO DIFERENCIAL & INTEGRAL 3 8RESPOSTAS1.a)Type equation here.WALDIK JAIMEISPTEC - 2026Veteraano