1.ª Prova Parcelar de Cálculo Diferencial e Integral I, turma ECV1 M1 · ISPTEC · 2018

1.ª Prova Parcelar de Cálculo Diferencial e integral I, do curso de Engenharia Civil no Instituto Superior Politécnico de Tecnologias e Ciências (ISPTEC), 2018. Docente: Prof. José Maria Samuco.

Enunciado da 1.ª prova parcelar, de 12/04/2018, com proposta de resolução e critérios de classificação. Tem 4 questões: domínio e limite de arcsen(4x)/x, domínio, paridade, diferença e inversa de log₂((x+3)/(x−3)), dois limites (com raízes e exponenciais) e a identidade arccos(−x)+arccos x=π.

Tipo

1.ª Prova Parcelar

Cadeira

Cálculo Diferencial e integral I

Curso

Engenharia Civil

Universidade

Instituto Superior Politécnico de Tecnologias e Ciências

Ano

2018

Docente

Prof. José Maria Samuco

Ficheiro

PDF, 7 páginas

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a1. Prova ParcelarDisciplina Cálculo Diferencial e Integral I Duração: 100 MinutosCurso Licenciatura em Engenharia Civil Data: 12/04/2018Docente José Maria Samuco Turma: ECV1 M1oNome do alunoN.:• Responda com uma esferográfica de tinta indelével (que não se pode apagar), de cor preta ou azul.• Não é permitido o uso de calculadora nem de corrector.• Identifique as suas respostas com o número apresentado no enunciado. As respostas não identificadas nãoserão classificadas.• Na resposta a cada questão proposta, apresente todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificaçõesnecessárias.• Nas folhas de resposta, apenas as páginas sem quadrículados ou sem linhas devem ser usadas para rascunho.O que escrever nessas páginas não será classificado. Não apresente as suas respostas nessas páginas.• Na resolução das questões que envolvem o cálculo de limites, não é permitido o uso da regra de L’Hospital/regrade Cauchy nem o uso de infinitésimos equivalentes. O não cumprimento desta norma, implica a atribuiaçãode zero valores a todas as etapas que dependam da aplicação das regras atrás referidas.

arcsen(4x)1. Seja h a função definida por h(x) =.x1.1 (2 valores) Determine o domínio da função h.Apresente o resultado usando intervalos de números reais.Proposta de resolução e critério de classificação:1 1D = {x ∈ R: −1 ≤ 4x ≤ 1∧x 6= 0} = x ∈ R: − ≤ x ≤ ∧x 6= 0 =h4 4[[]]1 1= −,0 ∪ 0,4 4Escrever D = {x ∈ R: −1 ≤ 4x ≤ 1∧x 6= 0}....................................... 1h{}1 1Escrever D = x ∈ R: − ≤ x ≤ ∧x 6= 0.................................... 0,5h4 4[]][11∪ 0,,0−................................................... 0,5EscreverD=h4 41.2 (2 valores) Calcule limh(x), usando a mudança de variável definida por u = arcsen(4x).x→0Proposta de resolução e critério de classificação:arcsen(4x) u 44u 4limh(x) = lim = lim = lim = 4= lim= senusenux→0 x→0 u→0 u→0u→0xsenu 14 uarcsen(4x) uEscrever lim = lim...............................................0,8senux→0 u→0x4u 4Escrever lim = lim.................................................... 0,8senusenuu→0 u→04 u4 4Escrever lim =............................................................ 0,2senuu→0 1uConcluir que limh(x) = 4......................................................... 0,2x→0

x+ 32. Considere a função injectiva f definida por f(x) = log.2x−32.1 (2,5 valores) Determine o domínio de f.Apresente o resultado sob a forma de reunião de intervalos de números reais.Proposta de resolução e critério de classificação:x+ 3> 0∧x−3 6= 0D=x∈R:fx−3x+ 3> 0 ⇐⇒ (x+ 3 > 0∧x−3 > 0)∨(x+ 3 < 0∧x−3 < 0) ⇐⇒x−3⇐⇒ (x > −3∧x > 3)∨(x < −3∧x < 3) ⇐⇒ x > 3∨x < −3D = {x ∈ R: (x > 3∨x < −3)∧x 6= 3} =]− ∞,−3[∪]3,+∞[fx+ 3> 0}................................................ 0,5EscreverD={x∈R:fx−3x+ 3> 0................................................... 1,8Resolver a inequaçãox−3Escrever D =]− ∞,−3[∪]3,+∞[................................................. 0,2f2.2 (1,5 valores) Verifique se f é ímpar.Proposta de resolução e critério de classificação:( ( ())) ()−1−x+ 3 x−3 x+ 3 x+ 3f(−x) = log = log = log ==−log2222−x−3 x+ 3 x−3 x−3= −f(x), para todo x ∈ D. Logo, f é ímpar.f−x+ 3Escrever f(−x) = log................................................. 0,32−x−3x−3Escrever f(−x) = log................................................... 0,32x+ 3()−1x+ 3Escrever f(−x) = log................................................. 0,42x−3x+ 3Escrever f(−x) = −log................................................. 0,42x−3Concluir que f é ímpar........................................................... 0,1

2.3 (1,5 valores) Seja g a função definida, em ]−3,+∞[, por g(x) = log (x+ 3).2Determine (f −g)(x). Apresente o resultado sob a forma de um único logaritmo.Proposta de resolução e critério de classificação: x+ 3x+ 3  x−3(f −g)(x) = f(x)−g(x) = log −log (x+ 3) = log =222x−3 x+ 31= log2x−3x+ 3−log (x+ 3)................................. 0,5Escrever (f−g)(x) = log22x−3 x+ 3 x−3Escrever (f−g)(x) = log.............................................. 0,8 2x+ 31Escrever (f −g)(x) = log............................................... 0,22x−3

−12.4(2,5 valores) Caracterize a funçãof, função inversa de f, determinando a expressãoanalítica e o domínio.Proposta de resolução e critério de classificação:Para x ∈ D, tem-sefx+ 3 x+ 3y y y yy = log ⇐⇒ 2 = ⇐⇒ 2 (x − 3) = x + 3 ⇐⇒ 2 x − 3 × 2 =2x−3 x−3y3(1 + 2)yyyyy∧2−1 6=x+3⇐⇒2x−x= 3+3×2⇐⇒(2−1)x= 3(1+2)⇐⇒x=y2 −1y3(1 + 2)0 ⇐⇒ x = ∧y 6= 0y2 −1x3(1 + 2)−1 −1Então,f(x) = e o domínio def é R\ {0}.x2 −1x+ 3Escrever y = log....................................................... 0,12x−3x+ 3yEscrever 2 =............................................................... 0,8x−3y3(1 + 2)Obter x = ∧y 6= 0....................................................... 1,2y2 −1−1Indicar o domínio def......................................................... 0,4

3. Calcule os limites seguintes, caso existam.2−x√3.1(3 valores) limx→2 2− 2xProposta de resolução e critério de classificação:2−x (2−x)(2 + 2x) (2−x)(2 + 2x) 2 + 2x√ √ √lim= lim = lim = lim =x→2 x→2 x→2 x→24−2x 22− 2x(2− 2x)(2 +2x)2×22 += 2=22−x 2x)(2−x)(2 +√ √ √Escrever lim= lim.................................. 0,8x→2x→22− 2x (2− 2x)(2 + 2x)2x)2−x(2−x)(2 +√....................................... 1Escrever lim= limx→2 x→2 4−2x2− 2x2−x 2 + 2x√Escrever lim = lim.............................................. 0,8x→2 x→2 22− 2x2−x√Concluir que lim = 2.................................................... 0,4x→2 2− 2x2x x5−53.2 (3 valores) lim2x→0x −3xProposta de resolução e critério de classificação:2x x 2x x 2x x5−55−515−1−5 + 1 1lim = lim ×lim = lim + lim ×lim =2x→0 x→0 x→0 x→0 x→0 x→0x−3xxx−3 xx x−3x x25−15 −1 1 1 ln 5lim × lim=−lim = (ln 25−ln 5)× = −x→0 x→0x→0xx x−3 0−3 32x x 2x x5−55−5 1Escrever lim = lim × lim.................................. 0,92x→0 x→0 x→0x−3xx x−32x x 2x x5−55−1−5 + 1 1Escrever lim = lim + lim × lim................. 0,92x→0 x→0 x→0 x→0x−3xxx x−32x x x x5−525−15 −1 1Escrever lim = lim − lim × lim.................. 0,62x→0 x→0 x→0 x→0x−3xxx x−32x x5−5 ln 5Concluir que lim = −.................................................0,62x→0x −3x 3

4. (2 valores) Mostre que arccos(−x) + arccosx = π, com x ∈ [−1,1].Proposta de resolução e critério de classificação:y = π −arccosx ⇐⇒ arccosx = π −y ⇐⇒ x = cos(π −y) ⇐⇒ x = −cosy ⇐⇒ cosy =−x ⇐⇒ y = arccos(−x).Então, π −arccosx = arccos(−x), ou seja, arccos(−x) + arccosx = π.Escrever y = π −arccosx.............................................................. 0,2Obter x = cos(π −y)................................................................... 0,6Escrever x = −cosy................................................................... 0,6Obter y = arccos(−x).................................................................. 0,4Concluir que π −arccosx = arccos(−x) ⇐⇒ arccos(−x) + arccosx = π................. 0,2FIM