Lista de Exercícios de Álgebra Linear e Geometria Analítica: Capítulo 1, matrizes e sistemas · ISPTEC

Lista de Exercícios de Álgebra Linear e Geometria Analítica, do curso de Engenharia Mecânica no Instituto Superior Politécnico de Tecnologias e Ciências (ISPTEC), . Docente: Prof. Waldik Jaime.

Lista de exercícios do Capítulo 1 sobre matrizes e sistemas: construção e operações com matrizes, transposta, determinantes, matriz inversa e sistemas de equações lineares. Não tem resolução.

Tipo

Lista de Exercícios

Cadeira

Álgebra Linear e Geometria Analítica

Curso

Engenharia Mecânica

Universidade

Instituto Superior Politécnico de Tecnologias e Ciências

Docente

Prof. Waldik Jaime

Ficheiro

PDF, 13 páginas

Desbloqueado

0 vezes

Cria conta grátis para desbloquear este material e ler todas as páginas.

ÁLGEBRA LINEAR & GEOMETRIA ANALÍTICA 1EXERCÍCIOSCAP.1 – MATRIZES E SISTEMAS1.Construa as seguintes matrizes:a) A=(a), em que a =3i-3jij2x5ij2 3b) B=(b), em que b =i +jij2x3ijc) C=(c), em que c =i+jij3x3ij2.Dadas as matrizes A, B e C:2 3 8 −3 7 1 7 −8 3𝐴 = [ ]; 𝐵 = [ ]; 𝐶 = [ ]−4254−32−59−67 4 1 0 9 4 9 −5 1Calcule:a) A+B; b) C- A; c) 3A-2B+4C; d)(A+B)C3.Calcule os valores de m e n para que as matrizes A e B sejam iguais:8 15𝑛 8 75a)𝐴 = [] 𝑒 𝐵 = []12 + 𝑚 3 6 32 2 41 13𝑚−40𝑛+4b)𝐴 = [ 𝑒𝐵 =] [ ]6 3637 8 7 8c)𝐴 = [𝑒𝐵=][ ]24𝑚 4 10𝑚−254.Dadas as matrizes A, B, C e D:1 −2 1 7 3 −83 1 2 4 −3 −1 −1 −313−5−7𝐴 = []; 𝐵 = []; 𝐶 = [ ] 𝑒 𝐷 = []7 −4 −3 5 4 1 9 062−835 9 5 3 2 −3Calcule:a) AB; b) (AB)D; c) A(BD); d)BA; e)(BA)C; f)B(AC)5.Dadas as matrizes A, B, C e D:5 0 6 5 0 3 21 −3 −2 4 2 3 0−8 0 3 −8 1 −2 4𝐴 = []; 𝐵 = []; 𝐶 = [] 𝑒 𝐷 = [ ]7 8 5 9 1 1 −8−2 2 7 −3 2 1 −50 6 3 −8 3 5 41 −1 −5 0 1 0 2Calcule:T T T T T T Ta) (AB); b) (AB)D; c) A(BD); d)B C; e) 2(A B)+3C3 −1−1 3 2 3 1 0 16.Dadas as matrizes𝐴 = [. Ache os valores de x e y para que], 𝐵 = [ ] 𝑒 𝐶 = []−3 0 −1 𝑥 0 𝑦 2T T Tse cumpra que: a)A=B.C; b)A =C.BWALDIK JAIME

ÁLGEBRA LINEAR & GEOMETRIA ANALÍTICA 27.Dadas as matrizes A, B e C:3 4 1 4 −1 3 2 6 8𝐴 = [ ]; 𝐵 = [ ] 𝑒 𝐶 = [ ]−5−2−939123017 8 6 7 2 −4 −1 −2 −3Calcule:Ta) det(A); b) det(B); c) det(C); d) det(A+B); e) det(A-B); f) det(2A-3B+4C); g)det(BC); h) det(AC);i) det((CB)A); j) det(C(BA)); k) det(B(CA))8.Resolver as seguintes equações dadas:a) b) c) d)4 6 𝑥 𝑥 + 3 𝑥 + 1 𝑥 + 4357513| | = −128 | | = 39 | | = 100 | | = −752−𝑥4532𝑥𝑥3𝑥3𝑥01−7 4 2𝑥 9 10 74677𝑥21e) f) g) h)12 − 𝑥 1 1 1 0 𝑥 − 1 2 𝑥 2 2 6 2| | = 10 | | = 0 | | = −3 | | = 018 − 2𝑥3211𝑥 − 211𝑥4𝑥215 − 2𝑥 0 1 2 1 𝑥 − 4 1 1 6 2𝑥 8 4i) j)7 − 𝑥 −2 010 − 𝑥 4| | = 0 | | = 0−2 6 − 𝑥 −210 13 − 𝑥0 −2 5 − 𝑥9.Seja B=(b), onde:ij4x41, 𝑠𝑒 𝑖 = 𝑗−2𝑖𝑗, 𝑠𝑒 𝑖 < 𝑗𝑏= {𝑖𝑗3𝑗, 𝑠𝑒 𝑖 > 𝑗Calcule det(B).10.Seja A uma matriz quadrada de ordem n≥2 com elementos:𝑐𝑜𝑠[𝜋(𝑖 + 𝑗)], 𝑠𝑒 𝑖 = 𝑗𝑎 = {𝑖𝑗𝑠𝑒𝑛(𝜋𝑖), 𝑠𝑒 𝑖 ≠ 𝑗Calcule det(A) em função de n.-1 -111.Na igualdadelog [det(2A)]=log [det(2A) ], A é uma matriz de quinta ordem com determinante327não nulo. Calcule det(A).12.Dadas as matrizes A=(a), onde a =2i-3j, e B=(b), onde:ij2x2ijij2x2𝑖 + 𝑗, 𝑠𝑒 𝑖 = 𝑗𝑏 = {𝑖𝑗𝑖 − 𝑗, 𝑠𝑒 𝑖 ≠ 𝑗2Calcule o determinante da matriz X=(B-A).13.M é uma matriz quadrada de ordem 3, e seu determinante é det(M)=2. Calcule o valor da expressão:det(M)+det(2M)+det(3M)214.Sendo A uma matriz de ordem 2, tal que a =i -j. Calcule det(A).ijWALDIK JAIME

ÁLGEBRA LINEAR & GEOMETRIA ANALÍTICA 315.Seja a matriz A=(a), tal que:ij3x3log 𝑥, 𝑠𝑒 𝑖 = 𝑗2𝑎 = {𝑖𝑗0, 𝑠𝑒 𝑖 ≠ 𝑗Calcule o valor de x para que det(A) seja -27.416.Calcule o determinante de uma matriz 3x3 inversível que satisfaz a condição A =2A.-117.Sejam A, B e C matrizes reais 3x3, tais que AB=C, B=2A e det(C)=8. Determine o valor de |det(A)|.18.Considere a matriz A=(a), definida por a =-1+2i+j, para 1≤ i ≤2, 1≤ j ≤ 2. Ache det(A).ij2x2ij19.Seja a matriz A=(a), tal que:ij3x3𝑐𝑜𝑠(7𝜋/𝑖), 𝑠𝑒 𝑖 = 𝑗𝑎 = {𝑖𝑗𝑠𝑒𝑛(7𝜋/𝑗), 𝑠𝑒 𝑖 ≠ 𝑗Ache det(A).20.As faces de um cubo foram enumeradas de 1 a 6, depois em cada face do cubo foi registrada umamatriz de ordem 2, com elementos definidos por:2𝑖 + 𝑓, 𝑠𝑒 𝑖 = 𝑗𝑎 = {,𝑖𝑗𝑗, 𝑠𝑒 𝑖 ≠ 𝑗onde f é o valor associado à face correspondente. Qual o valor do determinante da matriz registrada naface 5?21.Seja A uma matriz quadrada de ordem 3 com det(A)=3 e det(k.A)=192. Determine o valor de k.22.Sejam A e B matrizes 3x3 tais que det(A)=3 e det(B)=4. Calcule det(Ax2B).23.Seja a matriz A=(a), de ordem 2, em que:ij𝑠𝑒𝑛[(𝜋/4)(𝑖 + 𝑗)], 𝑠𝑒 𝑖 = 𝑗𝑎 = {𝑖𝑗𝑠𝑒𝑛[𝑥(𝑖 − 𝑗)], 𝑠𝑒 𝑖 ≠ 𝑗Quantos números reais x, tais que−2𝜋 < 𝑥 < 2𝜋 satisfazem a condição det(A)=1/4.24.A matriz A é de quarta ordem, e seu determinante é -8. Ache o valor de x na equação det(2A)=2x-150.25.Sejam A e B matrizes reais quadradas de ordem n. Se det(A)=det(B)≠0, calcule o valor de-1det[(1/2)AB ].26.Numa matriz quadrada A=(a) de ordem 2, os elementos a, a, a, e a, nesta ordem, apresentam aij11122122seguinte propriedade: “Os três primeiros estão em P.A. e os três últimos em P.G., ambas de mesmarazão”. Calcule o determinante de A, se a =2.12WALDIK JAIME

ÁLGEBRA LINEAR & GEOMETRIA ANALÍTICA 427.Sabendo que:𝑎 𝑑 𝑔𝑏 𝑒 ℎ|| = 2𝑐 𝑓 𝑖Calcule:2𝑎 2𝑏 2𝑐−𝑔 −ℎ −𝑖||3𝑑 3𝑒 3𝑓28.Calcule o determinante:𝑎 𝑑 2𝑎 + 𝑑𝑏 𝑒 2𝑏 + 𝑒||𝑐 𝑓 2𝑐 + 𝑓29.Resolva a equação na incógnita x:𝑥 𝑎 𝑎 𝑎𝑥 𝑥 𝑎 𝑎| | = 0𝑥𝑥𝑥𝑎𝑥 𝑥 𝑥 𝑥30.Determine o valor de x, de modos que a matriz A seja invertível:1 0 2𝐴 = [ ]2𝑥11 3 031.Seja dada a matriz:5 𝑥𝐴 = []3 31-1Determine o valor de x tal que det(A)=𝑥−132.Dadas as matrizes:−√24 2√3√10√2𝐴 = [] 𝑒 𝐵 = []5 −√5 √6√3Calcule o determinante da matriz A.B33.Considere as matrizes:2 4 𝑧𝑥0𝐴 = [ ] 𝑒 𝐵 = [ ]𝑦−𝑥2 𝑦 + 𝑧TSabendo que A=B, calcule o determinante da matriz:𝑥 𝑦 −1[ ]𝑧114 5 2WALDIK JAIME

ÁLGEBRA LINEAR & GEOMETRIA ANALÍTICA 534.Calcule o valor de xє ℝ na igualdade:𝑥 − 1 13 9| | = 0𝑥 + 1182T35.Calcule o determinante da matriz(A.B), sabendo que:𝑎 2 𝑎 𝑏1𝑏 𝑇[ ] = [ ]; 𝐴 = [ ] 𝑒 𝐵 = 𝐴3𝑦𝑥𝑦𝑥 436.Considere as matrizes:𝑥 𝑦 𝑧𝑥 + 𝑦 𝑥 + 𝑧 2 3𝑧𝑦𝑥𝐴 = [ ], 𝐵 = [ ] 𝑒 𝐶 = [ ]𝑧 − 𝑦𝑧 − 𝑥1 2𝑦𝑧𝑥Calcule o determinante da matriz A, sabendo que B=2C.37.Dada a matriz A:2 1 12𝐴 = [, e a função f(x)=-x -x-1.]3121 −1 01Calcule o valor de𝑓 (−).det 𝐴38.Dadas as matrizes:3 𝑥 6𝑥 𝑥𝐴 = [] 𝑒 𝐵 = [], 𝑐𝑜𝑚 𝑥 є ℝ2𝑥𝑥 2𝑥 1Ache os valores de x para que 2.det(3A)=3.det(2B).39.Sabendo que:3 3 2 0 0 1𝑀 = [ ], 𝑁 = [ ] 𝑒 det(𝑀. 𝑁) = −160,2060201 0 −3 𝑘 1 0Determine o valor de k.40.Resolva as seguintes equações:a) b) c)2𝑥 6 −1 𝑥 1 𝑥17 𝑥𝑥 + 22𝑥 − 1𝑥2 1 2 3 1. || = | | | | = | | | | = | | + | |2(𝑥 − 1)0−20353 4 8 3 𝑥 6 3 3 7 142𝑥 4 224−2𝑥d) e) f)1 2 𝑥 0 3 2𝑥 + 2 𝑥 − 2 3𝑥 −1|| = −8|| = 6|| − || = 6−1 𝑥 𝑥 + 1 𝑥 2 4𝑥 −3 0 23 2 𝑥 1 1 −1WALDIK JAIME

ÁLGEBRA LINEAR & GEOMETRIA ANALÍTICA 641.Calcule o determinante das matrizes:a) A=(a) | a =i+2jij2x2ijb) B=(b) | b =2i-3jij3x3ij2c) C=(c) | c =i-jij3x3ij2 2d) D=(d) | d =i -jij3x3ij2e) E=(e) | e =(i-j)ij3x3ij42.Calcule o determinante da matriz X, sabendo que:𝑋−𝐴 𝑋+2𝐵−173−1𝐴 = [, tal que =] 𝑒 𝐵 = []2 3−24401 043.Seja A=(a) uma matriz quadrada de ordem 2 tal que a=2i-3j e seja𝐵 = [. Calcule o]ij ij−1 1determinante da matriz X tal que X+2A=B.44.Dadas as matrizes:1 𝑘 −12 −3𝐷= [ = [] 𝑒 𝐷 ]0 3 −4124 𝑘𝑘 −3 2Ache o valor de k de modos que det(D)+2det(D)=0.12T T T45.Sejam x e y números reais tais que x.[1 3] + y.[1 -2] = [2 6] e seja A=(a), ondeij2x2𝑥, 𝑠𝑒 𝑖 = 𝑗𝑎 = {.𝑖𝑗𝑦, 𝑠𝑒 𝑖 ≠ 𝑗Calcule o determinante da matriz A.𝑎 𝑏 𝑐𝑑 𝑒 𝑓46.Seja𝐴 = [. Considere, por hipótese, det(A)= -7. Calcule:]𝑔 ℎ 𝑖a) det(3A)-1b) det(2A)-1c) det((2A))𝑎 𝑔 𝑑𝑏 ℎ 𝑒d)𝑑𝑒𝑡 ()𝑐 𝑖 𝑓47.Para que valores de k a matriz A deixa de ser invertível?a)1 2 4𝐴 = [ ]316𝑘 3 2b)𝑘 − 3 −2𝐴 = [ ]−2 𝑘 − 2WALDIK JAIME

ÁLGEBRA LINEAR & GEOMETRIA ANALÍTICA 748.Considere as matrizes quadradas de ordem 2:1 0 2 1𝐴 = [] 𝑒 𝐵 = []2 1 0 2TSeja M=A.B. Calcule det(M).1 2 049.Para que valores de x, o determinante da matriz é positivo?[]−2𝑥0𝑥 0 𝑥-150.Seja A uma matriz quadrada de ordem 2 e de determinante 10. Se B=-2A e C=3B, calcule det(C).−1 𝑠𝑒 𝑖 ≠ 𝑗 T51.Dada a matriz A=(a) com𝑎 = {. Calculedet(A.A).ij3x3𝑖𝑗1 𝑠𝑒 𝑖 = 𝑗1 2 2 152.Dadas as matrizes𝐴 = [e𝐷 = [. Calcule o determinante de uma matriz B, sabendo]]1 −1 −1 2-1que A BA=D.1 −1 𝑥 153.Sejam as matrizes𝐴 = [, com𝑥 є ℝ. Calcule os valores de x sabendo que] 𝑒 𝐵 = []𝑥 1 1 −1det(A.B)=-9.𝑎 𝑏 𝑐𝑑 𝑒 𝑓54.Seja𝐴 = [. Se det(A)=6, calcule o valor de:]𝑔 ℎ 𝑖𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐 𝑔 ℎ 𝑖 𝑔 ℎ 𝑖𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 ℎ 𝑖 𝑎 𝑏 𝑐|| + || + || + | |𝑑𝑒𝑓𝑔 ℎ 𝑖 𝑑 𝑒 𝑓 𝑑 𝑒 𝑓 𝑎 𝑏 𝑐55.Calcule o seguinte determinante:0 𝑦 𝑧 𝑤𝑥 0 0 𝑤| |𝑥0𝑧0𝑥 𝑦 0 0𝑥 𝑧 −𝑦1236 9 12 2 4 −356.Se, calcule||.|| = −12𝑥 𝑦 𝑧 1 3 −257.Calcule o determinante da seguinte matriz:1 log 2 log 4−1 log 4 log 8[ ]1 log 8 log 16WALDIK JAIME

ÁLGEBRA LINEAR & GEOMETRIA ANALÍTICA 858.Calcule o determinante da seguinte matriz:𝑥 0 0 −10 𝑥 0 0[ ]0 0 𝑥 0−1 0 0 𝑥59.O valor de um determinante é 48. Se dividirmos a 2ª linha por 8 e multiplicarmos a 3ª linha por 6, qualserá o valor do novo determinante?60.Calcular a matriz inversa das seguintes matrizes (pelo método da matriz adjunta):a) b) c)1 0 0 02 4 6−34−52 1 0 0𝐴 = [𝐵 = [𝐶 = []]]7 3 10123 2 1 03 6 93−544 3 2 161.Calcular a matriz inversa das seguintes matrizes (pelo método de Jordan):a) b) c) d)−1 2 0 −80 2 −1 −1 −1 −1 2 0 00 −1 2 1𝐴 = [𝐷 = [] 𝐵 = [] 𝐶 = [] ]1 4 −2 −3 −3 −4 0 3 00 0 −1 1−1 −7 3 −3 −4 −3 0 0 70 0 0 −162.Achar a característica (rango ou posto) da matriz:1 0 1 0 12 −1 3 −1 2[]0 4 1 4 03 2 1 2 363.Classificar e resolver os seguintes sistemas de equações lineares:a) b) c) d)2𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 = 24𝑥 − 𝑦 − 3𝑧 = 15 𝑥 + 𝑦 + 6𝑧 = 05𝑥 + 8𝑦 = 3433𝑥 − 5𝑦 + 4𝑧 = 53𝑥 − 2𝑦 + 5𝑧 = −7{ {{{10𝑥 + 16𝑦 = 50 − 𝑥 − 6𝑦 − 9𝑧 = 0𝑥 − 2𝑦 − 7𝑧 = −242𝑥 + 3𝑦 + 4𝑧 = 7 2e) f)𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 10 5𝑥 − 3𝑦 − 7𝑧 = −53𝑥 + 4𝑦 + 6𝑧 = 23 4𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 2{{3𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 10 −2𝑥 + 4𝑦 + 8𝑧 = 1064.Estabelecer a condição que deve ser satisfeita pelos termos independentes para que os seguintessistemas sejam compatíveis:a) b) c) d)𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 𝑎4𝑥 + 12𝑦 + 8𝑧 = 𝑎2𝑥 + 4𝑦 + 2𝑧 = 𝑎2𝑥 + 2𝑦 + 4𝑧 = 𝑎−𝑥 + 2𝑧 = 𝑏2𝑥 + 5𝑦 + 3𝑧 = 𝑏3𝑥 + 8𝑦 + 5𝑧 = 𝑏6𝑥 + 11𝑦 + 8𝑧 = 𝑏{{{{𝑦 + 𝑧 = 𝑐−4𝑦 − 4𝑧 = 𝑐−2𝑥 − 4𝑦 − 𝑧 = 𝑐2𝑥 + 7𝑦 = 𝑐65.Calcular o valor de k para que o sistema admita solução não-trivial:2𝑥 + 6𝑦 = 0{4𝑥 + 𝑘𝑦 = 0WALDIK JAIME

ÁLGEBRA LINEAR & GEOMETRIA ANALÍTICA 966.Resolver os sistemas pelo método de Crâmer:a) b) c) d)𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 22 2𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 149𝑥 − 2𝑦 = 31 21𝑥 − 11𝑦 = 523𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 25 3𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 24{{{{7𝑥 + 6𝑦 = 77 7𝑥 + 5𝑦 = 26−𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 102𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 2567.Resolver os sistemas pelo método da matriz inversa:a) b)7𝑥 + 4𝑦 = 36 11𝑥 + 5𝑦 = 21{ { 5𝑥 + 3𝑦 = 26−4𝑥 − 2𝑦 = −868.Seja A a matriz formada pelos coeficientes do sistema linear a seguir:𝜆𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝜆 + 2𝑥 + 𝜆𝑦 + 𝑧 = 𝜆 + 2{𝑥 + 𝑦 + 𝜆𝑧 = 𝜆 + 2a)Ache as raízes da equação: det(A)=0.b)Ache a solução geral desse sistema para 𝜆 = −2.69.Considere o seguinte sistema de equações lineares,𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 = 𝑐12𝑏𝑥 − 𝑥 = 1{23𝑥 − 𝑐𝑥 = 213Determine a relação entre a, b e c de forma que o sistema admita uma única variável livre.70.Discuta, em função dos parâmetros reais, a, b e c os seguintes sistemas:a) b) c) d)𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑧 = 1−2𝑥 + (𝑎 + 3)𝑦 − 𝑏𝑧 = −3𝑦 + 𝑐𝑧 = 1 + 𝑎𝑦𝑥 + (𝑎 + 1)𝑦 + (𝑎 − 1)𝑧 = 3𝑥 + 𝑎𝑏𝑦 + 𝑧 = 𝑏{{𝑥 + 𝑏𝑧 = 1{{2𝑥 + 4𝑦 + 3𝑏𝑧 = −𝑏 𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑎𝑧 = 1 𝑥 + 𝑎𝑦 + (𝑎 − 𝑐)𝑧 = 𝑏 − 1𝑥 + 𝑦 + (𝑎 − 1)𝑧 = 𝑎 − 1e) f)2𝑥 + 4𝑦 + 𝑏𝑧 = 2 2 3𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑎𝑧 = 𝑎𝑥 + (𝑎 + 2)𝑦 = 1 2 3{ {𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑏 𝑧 = 𝑏𝑥 + 2𝑦 + 𝑎𝑧 = 12 3𝑥 + 𝑐𝑦 + 𝑐𝑧 = 𝑐𝑥 + 2𝑦 = 𝑐71.Resolva o sistema:𝑥 + 2𝑧 − 𝑡 = 02𝑥 − 𝑦 + 2𝑡 = 0{ −𝑥 + 𝑦 − 𝑧 + 𝑡 = 04𝑥 + 𝑦 − 4𝑧 + 2𝑡 = 0WALDIK JAIME

ÁLGEBRA LINEAR & GEOMETRIA ANALÍTICA 1072.Considere o seguinte sistema:𝑥 + 𝑘𝑦 + 𝑘𝑧 = 0𝑘𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0{2𝑥 + 𝑦 + 𝑘𝑧 = 𝑘a)Discuta em função do parâmetro k.b)Considere o sistema homogéneo associado fazendo k=-1 e determine o conjunto fundamental desoluções.73.Considere o sistema (k єℝ):𝑥 + 𝑦 + 𝑘𝑧 = 1𝑥 + 𝑘𝑦 + 𝑧 = 𝑘{2𝑘𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑘a)Estude a característica da matriz do sistema em função do parâmetro k.b)Indique para que valores de k a matriz do sistema é invertível.c)Resolva o sistema, pelo método da matriz inversa, para k=0.74.Considere a matriz (k єℝ):0 0 𝑘𝐴 = [ ]−23𝑘 + 11 −𝑘 −1a)Determine os valores de k para os quais a matriz A admita inversa.T Tb)Considere k=-1 e sejam B=[1 10 2] e W=[x y z], com x, y, z єℝ, resolva o sistema de equaçõeslineares, AW=AB.75.Considere as matrizes:𝑎 0 1 1 10 𝑎 1 −1 1𝑀 = [] 𝑒 𝐵 = [], 𝑎, 𝑏 є ℝ0 0 2 −2 00 𝑎 𝑎 −1 𝑏a)Usando o teorema de Laplace calcule o determinante da matriz M, para a=2.b)Tendo em conta o parâmetro a єℝ, indique a característica da matriz M.c)Discuta o sistema correspondente à equação matricial MX=B.Td)Para a=2, determine b є ℝtal que [½ ½ 0 0] seja solução do sistema MX=B.76.Considere as matrizes:33−3−5−2 −1 3 5 2003𝑎−2𝑎0 0 1 1 0𝐴 = [], 𝐵 = [] 𝑒 𝐶 = []10100 0 −1 −2 02 0𝑎𝑎3𝑎𝑎− 𝑎 −1 2 3 1a)Utilizando o teorema de Laplace calcule o determinante da matriz C.b)Utilizando a matriz ampliada [C | I] determine a inversa da matriz C.c)Tendo em conta do parâmetro a є ℝ, calcule a característica da matriz A.d)Classifique o sistema correspondente à equação matricial AX=B.WALDIK JAIME

ÁLGEBRA LINEAR & GEOMETRIA ANALÍTICA 1177.Resolva o seguinte sistema de equações lineares:2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑤 = 1𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 + 𝑤 = 2{𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 + 𝑤 = 3𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 2𝑤 = 478.Classifique e resolva os sistemas lineares escalonados:a) b) c)2𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 0 5𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 3𝑎 + 2𝑏 − 𝑐 + 𝑑 = 2{{{2𝑦 − 𝑧 = 1 4𝑦 − 𝑧 = 5𝑐 − 𝑑 = 02𝑧 = −6 0𝑧 = 879.Discuta os sistemas lineares:a) b) c) d) e)(𝑎 − 𝑏)𝑥 + (𝑎 + 𝑏)𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑦 = 1𝑚𝑥 + 𝑦 = 23𝑥 + 2𝑦 = 1𝑎𝑥 + 𝑦 = 𝑏{ { { { { 2 2 2 2𝑥 − 𝑦 = 1𝑎𝑥 − 6𝑦 = 03𝑥 + 3𝑦 = 𝑘 + 1𝑥 + 𝑎𝑦 = 𝑏 (𝑎)𝑥 + (𝑎)𝑦 = 𝑏− 𝑏+ 𝑏WALDIK JAIME

ÁLGEBRA LINEAR & GEOMETRIA ANALÍTICA 12RESPOSTAS1. 8.a) x=-8/3; b) x=3; c) x=5; d) x=1; e) x=7; f) x=-1; g)x =3; x =5;120 −3 −6 −9 −12 h)x=4a)𝐴 = []3 0 −3 −6 −9 9. 46272 9 28 10. 1b)𝐵 = []5 12 31 11. 10242 3 412. 324c)𝐶 = []34513. 7245614. 32.15. x=1/8−110916. 2a)[]−911−117. 1/8713518. -25 −11 −5 19.−√3/2b)[ ]9−128 20. 612 −9 0 21. k=422. 9640 −37 34 23. N=8c)[ ]911−20 24. x=1157 −26 −1 𝑛⁄25.1 226. -8114−672627. 12d)[]−2844−628. 0146−1205229. S={0, a}30.𝑥 ≠ 9/23.a)m=-6 e n=5; b)m=±9 e n=±3; c)m=531. x=44.32. -2−11−111−1333. 0911−23−18a)[ ]−17 13 −3 −61 34.𝑥 = ±√1359 33 −97 −8 35. 436. x=1; y=3; z=5−29 −104 41 130 37. -3/4−206 −25 −227 −51 38. x =0; x =6/51 2b)[]−373 −318 −213 280 39. k=20/9−468 259 −745 −547 40. a)𝑥 = ±√3/3; b)x=27/5; c)x=±7; d)x =1; x =-2; e)x=1; f)x=21 241.a)-2; b)0; c)0; d)0; e)8c)Igual alínea b.42. -6243. 39−60−42d)[ ] 44. k=0 ou k=1−29 4945. 3646. a)-189; b)-8/7; c)-1/56; d)76−450e)[ ]47.a)k=1; b)𝑥 = (5 ± √17)/2−205129 1,248. 4f)Igual alínea e. 49.𝑥 ∈ ] − ∞; −4[ ∪ ]0; +∞[50. 9/405. 51.165 −8 12 −6 52. 521 42 64 −41 53. x =2; x =-41 2a)[]8 25 35 −22 54. 0−28 −56 −46 35 55. 3xyzw56. 4−7 −147 175 −35 257. -4log2−77 −168 413 −70 4 258. x- xb)[]73 −286 357 −28 59. 36−26 191 −261 29 60.−14/3 −3 −13/3c)Igual a alínea b. a)[ ]−2 −1 −21 1 1910−5620 29 −40 b)Matriz singulard)[]10 14 −28−7 −19 −104 1 0 0 0−2 1 0 0c)[]80 −57 −1151 −2 1 0e)[]−7 5 430 1 −2 1−74 88 1706.a)x=-1; y=-7; b)Ídem7.a) 22; b) -9; c) 0; d) 240; e)456; f)1655; g)0; h)0; i)0; j)0; k)0WALDIK JAIME

ÁLGEBRA LINEAR & GEOMETRIA ANALÍTICA 1361. e)−2 1 0 Para b=2a, sistema compatível indeterminado;a)[ ]−1−1−1 Para c=1 e b≠2a, sistema compatível determinado;−3 −2 −2 f)Para a≠b≠c, sistema compatível determinado;−7 1 1 Para a=b, sistema compatível indeterminado;b)[ ]30−1 Para a=c≠b, sistema compatível indeterminado;3 −1 0 Para b=c≠a, sistema compatível indeterminado;71. x=y=z=t=0 (solução trivial)−1−2−4272.0 −1 −2 −3c)[]a)0 0 −1 −1Para k=1, sistema incompatível;0 0 0 −1Para k=-1, sistema compatível indeterminadob)62. 3T T[x y z] =C.[1 0 1]63.73.a)Sistema incompatívela)b)Sistema compatível determinado: S={3, 3,- 2}Se k=1, então Ca=1; Se k=2, então Ca=3c) Sistema compatível determinado: S={1, 2, 3}b) k≠1 e k≠-2d) Sistema compatível indeterminado: S={-6C, 0, C}c) S={½; ½; -½ }e)Sistema incompatível74.f)Sistema compatível indeterminado: S={1, 1, 1}a) k≠0; k≠3/2; b)S={1, 10, 2}64.75. a) 8; b)Se a=1, então C =3; c) b=1Ma) 2a-4b+c=076.b) a,b,cєℝ a) -1c) 2a-b+c=0 1 1 0 −2d) a+b+c=0 0 2 1 0−1b)𝐶 = [ ]65. k=12 0 −1 −1 066. a)x=5; y=7; b) x=3; y=1; c)x=5; y=4; z=3; d) x=6; y=4; z=2 1 0 1 −167. a)x=4; y=2; b) x=1; y=268. λ =1; λ =-2 c) Se a=0, então Ca=1; Se a=1/3, então Ca=31,2369. Impossível d) Se a=0, sistema compatível indeterminado; Se a=1/3, sistema70. incompatível;a)Para a=2, sistema compatível indeterminado; 77. x=-1; y=0; z=1; w=2Para a≠2, sistema compatível indeterminado; 78.b) a)Sistema compatível deteerminado;Para b=0 e a≠-1, sistema incompatível; b)Sistema incompatível;Para b=0 e a=-1, sistema compatível indeterminado; c)Sistema compatível indeterminadoPara a=1 e b=-1, sistema compatível indeterminado; 79.Para a=1 e b≠-1, sistema incompatível; a)Para m≠-1, sistema possível determinado;c) Para m=-1, sistema incompatível;Para a=1 e b=1, sistema compatível indeterminado; Não existe m tal que o sistema seja compatível iindeterminadoPara a=1 e b≠1, sistema incompatível; b)a≠-9, sistema possível determinado;Para a=0, sistema compatível indeterminado; a=-9, sistema incompatívelPara a=b=-2, sistema compatível indeterminado; c)Para a≠±1, sistema compatível determinado;Para a=-2 e b≠-2, sistema incompatível; Para a=1, sistema compatível indeterminado;d) Para a=-1 e b=0, sistema compatível indeterminado;Para a≠1, sistema compatível determinado; Para a=-1 e b≠0, sistema incompatível;Para a=1 e b≠1, sistema incompatível; d)Para k≠2, sistema incompatível;Para a=0, b=1 e c≠0, sistema compatível indeterminado; Para k=2, sistema compatível indeterminadoPara a=0, b=1 e c=0, sistema incompatível; e)Para a=0 e b≠0, sistema incompatível;Para a=0 e b=0, sistema compatível indeterminado;Para b=0 e a≠0, sistema compatível indeterminado;WALDIK JAIME