Ficha de Exercícios n.º 3 de Cálculo Diferencial e Integral II: Derivadas Parciais · ISPTEC · 2021

Lista de Exercícios de Cálculo Diferencial e Integral II, do curso de Engenharia Mecânica no Instituto Superior Politécnico de Tecnologias e Ciências (ISPTEC), 2021.

Lista de exercícios sobre derivadas parciais de funções reais de várias variáveis reais, com 38 grupos de problemas. Inclui cálculo de derivadas parciais pela definição, derivadas de primeira e segunda ordem, diferenciabilidade, planos tangentes, gradientes, diferenciais, regra da cadeia e funções implícitas. Sem resolução.

Tipo

Lista de Exercícios

Cadeira

Cálculo Diferencial e Integral II

Curso

Engenharia Mecânica

Universidade

Instituto Superior Politécnico de Tecnologias e Ciências

Ano

2021

Ficheiro

PDF, 13 páginas

Desbloqueado

0 vezes

Cria conta grátis para desbloquear este material e ler todas as páginas.

Cálculo Diferencial e Integral IIoFicha de Exercícios n. 3Derivadas parciaisde funções reais de várias variáveis reaisoAno lectivo 2021/2. Semestre1. Usando a definição de derivada parcial, determime:∂f∂f 2 2(0,0) e (1,1) para f(x, y) = 2x y +y;1.1∂x ∂y∂f ∂f1.2 (1,−1) e (1,1) para f(x, y) = 2x+ 3y + 2xy;∂x ∂y22xy +y se y ≥ x∂f∂f(1,0) e (1,2) para f(x, y) =1.3.∂x ∂y 3x+ 2y se y < x2. Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções definidas por:2 x y2.1 f(x, y) = 2x + 3xy 2.6 f(x, y) = ln(e +e)2 y 2 22.2 f(x, y) = x e + sin(xy) 2.7 f(x, y) = x +yx+yx+ 12.8 f(x, y) =2.3f(x, y) = ln2 2x+yy2 yz3232.9 f(x, y, z) = x e +yln(z)2.4f(x, y) =xy+xy+x2 22xyx+y+z2.5 f(x, y) = e 2.10 f(x, y, z) = 523.Considere a funçãof:D⊆R −→ R, definida por xy √ se (x, y) 6= (0,0)2 2x+yf(x, y) = 0 se (x, y) = (0,0)∂f ∂fCalcule (x, y) e (x, y).∂x ∂y

Página 224.Considere a funçãof:D⊆R −→ R, definida por 2xyse (x, y) 6= (0,0)2 2x+yf(x, y) =0 se (x, y) = (0,0)∂f∂f(x, y) e (x, y).Calcule∂x ∂y5. Calcule as derivadas parciais de segunda ordem das funções definidas por:25.1 f(x, y) = 2x + 3xy 5.4 f(x, y) = ln (x+y) + ln (x−y)2 y5.2 f(x, y) = x e + sin(xy) 5.5 f(x, y, z) = sin(xyz)x+ 15.3 f(x, y) = ln 2 yz5.6f(x, y, z) =xe +ylnzy2 2∂z∂z2x6.Verifique se a funçãoz=eln(3ky) (k ∈ R) satisfaz a equação + = 0.2 2∂x∂y2 2∂z∂zkx7.Verifique se a funçãoz=ecos(ky) (k ∈ R) satisfaz a equação + = 0.2 2∂x∂y2 22x+y8. Considere a função f definida, em R, por f(x, y) = e.2 2 2∂f∂f∂f2 2 2Verifique se a função satisfaz a equaçãoy(x, y)−x(x, y) =xy (x, y),∀(x, y)∈R.2 2∂x∂y ∂x∂y2 2 29.Considere a funçãofdefinida porf(x, y, z) =x+y+ 4z + 1.3∂f9.1 Calcule∂x∂y∂z3∂f9.2 Calcule∂z∂x∂y210.Considere a funçãofdefinida porf(x, y) =2xy+y.2∂f10.1 Calcule∂x∂y3∂f10.2 Calcule3∂x211.Usando a definição, verifique que as funções dadas são diferenciáveis emR2 211.1f(x, y) = 2x−y11.2 f(x, y) = 2xy12. Verifique se as seguintes funções são diferenciáveis na origem.3 32 212.1 f(x, y) = x + y

Página 3 52xse (x, y) 6= (0,0)2 2x+y12.2f(x, y) =0 se (x, y) = (0,0)12.3 f(x, y) = x+y 4 2 2 3y + 3x y + 2yxse (x, y) 6= (0,0)2 2 2(x+y)12.4f(x, y) =0 se (x, y) = (0,0)1se (x, y) 6= (0,0)2 2x+y12.5f(x, y) = 0 se (x, y) = (0,0)213.Determine a região deR onde as funções dadas são diferenciáveis.2 2x−y2213.6 f(x, y) = e13.1f(x, y) =xy+xy2xy2 2 2 213.2f(x, y) =e13.7f(x, y) = (x+y) sen(x+y)2xy13.3 f(x, y) = 13.8 f(x, y) = arctg(2xy)2 2x+yy13.4 f(x, y) = ln(xy) 13.9 f(x, y) =() x2xy 1√13.5f(x, y) = sen 13.10 f(x, y) =2 2 2 2x+y(x−1)+ (y−1)2 222x+y+ 1sex+y < 113.11 f(x, y) =2 20sex+y ≥ 1 3x yse (x, y) 6= (0,0)2 2x+y13.12f(x, y) =0 se (x, y) = (0,0)14. Determine uma equação do plano tangente ao gráfico da função definida por f(x, y), no pontoP, no caso de o plano existir.2 214.1f(x, y) =1−x−y; P(0,0,1)14.2 f(x, y) = xy; P(0,0,0)2 214.3f(x, y) =(x−1)+ (y−1); P(1,1,0)2 214.4f(x, y) = 2x−3y; P(1,1,1)1 2√; P 1,1,14.5f(x, y) =2 2 2x+yx+y14.6f(x, y) =xe; P 1,1, f(1,1)2 214.7f(x, y) = 3y−2x +x; P(2,−1,−3)14.8 f(x, y) = xy; P(1,1,1)14.9 f(x, y) = xsen(x+y); P(−1,1,0)

Página 415. Determine uma equação do plano que contém os pontos de coordenadas (1,1,0) e (2,1,4) e é2 2tangente ao gráfico da função definida porf(x, y) =x+y.16. Determine o vector gradiente das funções dadas nos pontos indicados.()√π2 216.1f(x, y) =xx+y; P(1,1),016.6f(x, y) =xy−sen(x+y);P22 216.2f(x, y) =xy+ 3xy+y; P(0,3)2 2 2()16.7f(x, y, z) =x+y−zxyz; P(0,1,0)π16.3 f(x, y) = sen(3x+y); P 0,2 2 2 2 2√16.8 f(x, y) = (x +y) sen(x +y); P(0,0)2216.4f(x, y) = 4−x −y; P(0,0)2 2 16.9 f(x, t) = (x+ 2t) ln(x+ 2t); P(e,1)16.5f(x, y) =x+y−3;P(0,0)16.10 f(x, x, x, x) = x x −x x +x; P(2,2,1,3)12341213417. Determine o vector gradiente das funções definidas por:3x17.4 f(x, y) = cos(xy) + 417.1f(x, y) =y√ 2 2 217.5f(u, v, w) =uvw+u−v−w2 2x+y17.2f(x, y) = 22 5 2 2 217.3f(x, y, z) = 2xyz17.6f(x, y, z) =xyz + senx218.Sejafa função definida porf(x, y) =x + xy − y. Mostre que ∆f = df + R(∆x,∆y) e quelim R(∆x,∆y) = 0.(∆x,∆y)→(0,0)219.Considere a funçãofdefinida porf(x, y) =x+y−xy, ∆x = 0,01 e ∆y = 1. Calcule df(1,1)e ∆f(1,1).20. Calcule o diferencial das funções nos pontos dados.()π2zx20.3f(x, y, z) =xe +y; P (1,2,0)20.1f(x, y) =ecosy;P1,4 √2 2 2 2 220.2f(x, y) = ln(x+y);P(1,1)20.4f(x, y, z) =x+y+z; P (2,1,2)21. Determine o diferencial das funções dadas.2 2 22x+x+x21.1 f(x, y) = sen (x+y) 1 2 321.5f(x, x, x) =1 2 3x +x +x123x+y21.2f(x, y) =xe −y2x+y−z21.6 f(x, y, z) = e2 221.3f(u, v, w) =u+ lnv−wy x21.7 f(x, y) = arctg −arctgxyz21.4f(x, y, z) =e−xyx y22. Determine o erro decorrente de tomarmos o diferencial dz como uma aproximação do acréscimo∆z, nas seguintes situações:

Página 52 222.1z=x+y; (x, y) passa de (1,2) para (1,01; 2,01)2 222.2z=x+y; (x, y) passa de (1,2) para (1,01; 2,01)222.3z=xy; (x, y) passa de (2,4) para (2,1; 4,2)2V23. A energia consumida num resistor eléctrico é dada, em wats, por P =. Sabendo queRV = 120volts R = 12ohms, calcule o valor aproximado para a variação de energia quando Vdecresce 0,001 volts e R aumenta 0,02 ohm.24. Um terreno tem forma rectangular. Estima-se que os seus lados medem 1200 metros (largura)e 1800 metros (comprimento), com um erro máximo de 10 metros e 15 metros, respectivamente.Determine o possível erro de cálculo da área do terreno.25. Usando diferencial, obtenha o aumento aproximado do volume do cilindro circular recto quandoo raio da base varia de 3 cm para 3,1 cm e a altura varia de 21 cm para 21,5 cm.26. Um material é escoado de um recipiente formando uma pilha cónica. Num dado instante, o raioda base é 12 cm e a altura é de 8 cm.Usando diferencial, obtenha uma aproximação da variação do volume, sabendo que o raio variapara 12,5 cm e a altura para 7,8 cm. Compare o resultado com a variação exacta do volume.27. Considere o rectângulo com lados a = 5 com b = 2 cm. Como vai varia, aproximadamente, adiagonal desse rectângulo se o lado a aumenta 0,002 cm e o lado b diminuir 0,1 cm.28. Determine um valor aproximado para as seguintes expressões:0,015 2 2 228.11,01e(3,99)+ (4,01)+ (1,99)28.44 3 3,00128.2(0,995)+ (2,001)28.51,022 2 2 228.3(3,99)+ (4,01)(4,03)+ (2,9)28.6df29. Determine, usando a regra da cadeiadt2 229.1f(x, y) = tg(x+y), comx= 2tey=t29.2 f(x, y) = xcosy, com x = sent e y = t29.3 f(x, y) = arctg(xy), com x = 2t e y = 3tx 3 229.4f(x, y) =e(cosx+ cosy), comx=tey=tx −t, com x = e e y = lnt29.5f(x, y) =y229.6f(x, y) =xy, comx= 2t + 1 e y = sent√x1xy30.Sejaf(x, y) =+e, com x(t) = e y(t) = t.y t()dhDetermine, onde h(t) = f x(t), y(t).dt

Página 62t 231.Sejah(t) =f(e,cost), ondef:R → R é uma função diferenciável.′31.1Determineh(t) em função das derivadas parciais de f.∂f 12π ′31.2 Sabendo que (e,−1) =, determine h(π).∂x 2π∂z ∂z32. Determine as derivadas parciais, e, usando a regra da cadeia.∂u ∂v3222 232.1 z = x +y, com x = u + 1 e y = v2 232.2z= ln(x+y), com x = cosucosv e y = senucosvy32.3z=xe, com x = uv e y = u−v2 232.4z=x−y, com x = u−3v e y = u+ 2vxy32.5z=e, com x = ucosv e y = usenv∂z ∂z33. Determine as derivadas parciais, e, usando a regra da cadeia.∂x ∂y2r +s33.1 z =, com r = x+ 1 e s = x+ys233.2z=uv +vlnu, com u = 2x−y e v = 2x+y2 233.3z=l+m, com l = cos(xy) e m = sen(xy)2 2 2 2 2xy33.4z=u+v, comu=x−yev=e2 2 233.5z=uv+u, comu=xyev=x+y + ln(xy)34. Seja z = f(x, y), com x = rcosθ e y = rsenθ. Mostre que) () ())((22221∂z∂z∂z ∂z2∂x∂y∂rr ∂θ∂z ∂z35. Seja f uma função diferenciável tal que z = f(x−y, y −x). Mostre que + = 0.∂x ∂y∂z ∂z2236. Seja f uma função diferenciável tal que z = f(x +y). Mostre que y +x = 0.∂x ∂y2 237.Dada a equação 2x+ 2xy+z+xz = 1, verifique que esta define z como função implícita de1x e y, na vizinhança do ponto,0,0.22 2 238.Considere a equaçãoxz−yz+xyz −5 = 038.1 Verifique que a equação dada define z como função implícita de x e y, na vizinhança doponto P (3,1,1).∂z ∂z38.2 Calcule e, em P.∂x ∂y

Página 72 2 239.Considere a equaçãox+y+z −1 = 039.1 Verifique que a equação dada define z como função implícita de x e y, na vizinhança do()√√2 2ponto B 0,,.2 2∂z ∂z39.2 Calcule e, no ponto B.∂x ∂y2dydy40. Sendo y uma função de x definida implicitamente pela equação y = x+ lny, calcule e.2dxdx41. As equações dadas definem implicitamente y como função de x. Usando a regra da derivada dady.função implícita, determinedx241.1xy −x+ 2y = 0241.2x −xy −2x+ 3 = 02 241.3x−xy+y = 042. As equações dadas definem implicitamente z como função de x e de y. Usando a regra da∂z ∂zderivada da função implícita, determine e.∂x ∂y2 2 2 x+y+z42.1xy−y+z= 042.4e +xyz = 12 2 2 3 3 342.2x−3y+z= 1242.5x+y+z = x+y +z2 2 3 3 342.3x−2xy+z= 042.6xyz+x+y+z = 5

Página 8Soluções1.∂f ∂f1.1 (0,0) = 0 e (1,1) = 4∂x ∂y∂f ∂f1.2 (1,−1) = 0 e (1,1) = 5∂x ∂y∂f ∂f1.3 (1,0) = 3 e (1,2) = 3∂x ∂y2.∂f ∂f2.1 = 4x+ 3y; = 3x∂x ∂y∂f ∂fy 2 y2.2 = 2xe +ycos(xy); = x e +xcos(xy)∂x ∂y∂f 1 ∂f 12.3 =; = −∂x x+ 1 ∂y y∂f ∂f223 3 22.4 = 3x y +y + 1; = 2x y + 3xy∂x ∂y∂f ∂f2xy 2xy2.5 = 2ye; = 2xe∂x ∂yx ye∂fe∂f=; =2.6x y x y∂xe+e∂ye+e∂f x ∂f y√ √2.7=;=2 2 2 2∂x∂yx+yx+y2 2 2 2∂fy−x−2xy∂fx−y −2xy2.8 =; =2 2 2 2 2 2∂x(x+y)∂y(x+y)∂f ∂fyz 2 yz2.9 = 2xe; = x ze + lnz∂x ∂y∂f ∂f22 2 2x+y+zx+y+z2.10 = 5 ln 5; = (2 ln 5)y ×5∂x ∂y3. 3y √ se (x, y) 6= (0,0)∂f2 2 3(x, y) =(x+y)∂x0 se (x, y) = (0,0)3x √ se (x, y) 6= (0,0)∂f2 2 3(x, y) =(x+y)∂y0 se (x, y) = (0,0) 4 2 2y −x yse (x, y) 6= (0,0)∂f2 2 2(x+y)4.(x, y) =∂x0 se (x, y) = (0,0) 32x yse (x, y) 6= (0,0)∂f2 2 2(x+y)(x, y) =∂y0 se (x, y) = (0,0)

Página 95.5.1 f = 4; f = 0; f = f = 3xxyyxyyx′′ y 2 ′′ 2 y 2 ′′ ′′ y5.2 f = 2e −y sin(xy); f = x e −x sin(xy); f = f = 2xe −xysin(xy) + cos(xy)xxyyxyyx1 1′′′′ ′′ ′′5.3 f = −; f =; f = f = 0xxyyxyyx2 2(x+ 1)y2 2222(x+y) 4xy2(x+y); f = −; f = f =5.4f=−yyxyyxxx2 2 2 2 2 2(x+y)(x−y)(x+y)(x−y)(x+y)(x−y)′′ 2 2 ′′ 2 2 ′′ 2 25.5 f = −y z sin(xyz); f = −x z sin(xyz); f = −x y sin(xyz)xxyyzz′′ ′′ 2 ′′ ′′ 2f = f = zcos(xyz)−xyz sin(xyz); f = f = ycos(xyz)−xy zsin(xyz)xyyxxzzx′′ ′′ 2f = f = xcos(xyz)−x yzsin(xyz)yzzyy′′yz′′22yz′′22yz5.6 f = 2e; f = x z e; f = x y e −xxyyzz2z′′ ′′ yz ′′ ′′ yz ′′ ′′ yzf = f = 2xze; f = f = 2xye f = f = (2yz + 2)xexyyxxzzxyzzy6. Não 7. Sim 8. Não9.9.1 09.2 010.1 y(x+y)√ √10.1−2 32(2xy+y)2xy+y33y√10.22 5(2xy+y)11.12.12.1 Não 12.2 Sim 12.3 Sim 12.4 Não 12.5 Não13.213.1R213.2R2 \ {(0,0)}13.3R213.4{(x, y)∈R: (x > 0∧y > 0)∨(x < 0∧y < 0)}2 213.5R\ {(0,0)}13.7R2 213.6R13.8R

Página 102 213.9{(x, y)∈R:x6= 0}13.11R2 2 2 213.10R\ {(x, y)∈R:x+y = 1}14.14.1 z = 1 14.4 4x−6y −z = −1 14.7 z = −7x−6y + 514.2 z = 0 14.5 x+y + 2 2z = 4 14.8 x+y −2z = 02 2 214.3Não existe14.62ex+ey−z= 2e 14.9 x+y +z = 015. 4x−z = 4; 4x+ 4y −z = 816.)( ()√√π2 23 16.6 0,,16.1 22 216.7 (0,2,0)16.2 (9,6)16.8 (0,0)16.3(0,0)16.9 (1 + ln(e+ 2),2 + 2 ln(e+ 2))16.4(0,0)16.5 (0,0) 16.10 (1,2,−2,1)17.32 5 2 4 2 5x3x17.3 (4xy z,10x y z,2x y),−17.12yy17.4 (−ysen(xy),−xsen(xy))() 17.5 (vw+ 2u, uw−2v, uv −2w)2x 2y√ √17.2,2 2 2 2 2 2222217.6(2xyz+ cosx,2xyz,2xyz)x+yx+y18. df = (2x+y)dx+ (x−1)dy2∆f= (2x+y)∆x+ (x−1)∆y+ (∆x) + ∆x∆y2R(∆x,∆y) = (∆x) + ∆x∆y19. df(1,1) = −1; ∆f(1,1) = −2,0320.2 220.1 edx− edy2 220.2 dx+dy20.3 dx+dy + 2dz2 1 220.4 dx+ dy + dz3 3 3

Página 1121.21.1 2 sen(x+y) cos(x+y)dx+ 2 sen(x+y) cos(x+y)dyx+y x+y21.2(x−1)edx+ (xe −1)dy1dv −2wdw21.32udu+vxyz xyz xyz21.4(yze−y)dx+ (xze−x)dy+xyedz2 2 2 2 2 2 2 2 2x−x−x+ 2xx+ 2xxx−x−x+ 2xx+ 2xxx−x−x + 2x x + 2x x1 2 1 3 1 2 2 3 1 3 2 312321331221.5 dx + dx + dx123222(x +x +x) (x +x +x) (x +x +x)1231231232 2 2x+y+zx+y+zx+y+z21.6 e dx+e dy −2ze dz2y 2xdx+ dy21.7−2 2 2 2x+yx+y22.−4 −622.12×1022.25×10 22.3 0,122323.−2,02 watts25.17,1πcm 27. −0,03528 cm2 324.36000 m26.22,4πcm28.28.1 1,175 28.3 5,6568 28.5 1,0628.2 8,992 28.4 5,9966 28.6 4,96429.2 229.110tsec(5t)2 229.2cost−sent12t29.3436t + 13t 3 3 2 329.4 te (−3tsent + 3tcost + 3tcost −2 sent)−t −tee29.5 − − 2lnt tln t229.64tsent(2t + 1) cost3 t tt√30.−−e222t2tt31.∂f∂f 31.2 2.2t2t2t31.1 2e (e,cost)−sent (e,cost)∂x ∂y

Página 1232.3∂z2u + 2u ∂z v√ √32.1=e=2 2 2 2 2 2∂u∂v(u+ 1)+v(u+ 1)+v∂z ∂z32.2 = 0 e = −2 tgv∂u ∂v∂z ∂zu−v u−v32.3 = v(1 +u)e e = u(1−v)e∂u ∂v∂z ∂z32.4 = −10v e = −10u+ 10v∂u ∂vcotgv∂z∂ze32.5 = 0 e = −2∂u∂vsenv33.2 2∂zx+ 2xy+ 2y−1(x+ 1)∂z33.1 = = −e2 2∂x(x+y)∂y(x+y)4x+ 2y∂z2 2 2= 2(2x+y) + + 2(4x −y) + 2 ln(2x−y) e33.2∂x 2x−y∂z 2x+y2 2 2= −(2x+y) − + 2(4x −y) + ln(2x−y)∂y 2x−y∂z ∂z33.3 = 0 e = 0∂x ∂y∂z∂z224xy 2 2 4xy= 4x(x −y) + 4ye e = −4y(x −y) + 4xe33.4∂x ∂y∂z ∂z322 3 2 233.5 = y + 3x y + 2xy +y +yln(xy) e = x + 3xy + 2x y +y +xln(xy)∂x ∂y34. 35. 36. 37.38.38.1∂z 2 ∂z 438.2 (3,1) = −; (3,1) = −∂x 7 ∂y 739.39.1 () ()∂z 2 ∂z 239.2 0, = 0; 0, = 0∂x 2 ∂y 22dyydy y40. =; = −.2 3dxy−1dx(y−1)41.1−2xy 2x−y −2 y −2x41.1 41.2 41.32x + 2 x 2y −x

Página 1342.x+y+z x+y+z2∂ze+yz∂ze +xzxy∂zx−2y∂z42.4 = e ==−e=−42.1x+y+z x+y+z∂xe+xy∂ye +xy∂xz∂y2z2 2∂z1−3x∂z1−3y∂zx∂z3y42.5 = e = 42.2=−e=2 2∂x3z−1 ∂y3z −1∂xz∂yz2 2∂zy−x∂zx∂zyz+ 3xxz+ 3y∂z42.3 = e = 42.6 = − = −e2 2∂xz∂yz∂xxy+ 3z∂yxy+ 3zReferências[1] James Stewart. Cálculo, Vol. 2. Cengage Learning. São Paulo, 2013.a[2] Diva Flemming e Mirian Gonçalves.Cálculo A, 6. Edição. Pearson. São Paulo, 2006.a[3] Diva Flemming e Mirian Gonçalves.Cálculo B, 2. Edição. Pearson. São Paulo, 2007.[4] Hamilton Luiz Guidorizzi. Um Curso de Cálculo, Vol. 2. Livros Técnico e Científicos Editora. Riode Janeiro, 2005.[5] Ana Castro, Ana Viamonte e António Sousa. Cálculo I - Conceitos Exercícios e Aplicações.Publindústria, Edições Técnicas. Porto, 2013.[6] William Briggs, Lyle Cochran e Bernard Gillett. Calculus for Scientists and Engineers. PearsonEducation, 2013.n[7] Manuel Alberto Ferreira. Cálculo Direfencial emR - Exercícios. Edições Sílabo, 2008.