Ficha de Exercícios n.º 3 de Cálculo Diferencial e Integral II: Derivadas Parciais · ISPTEC · 2021

Exercícios de Cálculo Diferencial e Integral II, do curso de Engenharia Mecânica no Instituto Superior Politécnico de Tecnologias e Ciências (ISPTEC), 2021.

Lista de exercícios sobre derivadas parciais de funções reais de várias variáveis reais, com 38 grupos de problemas. Inclui cálculo de derivadas parciais pela definição, derivadas de primeira e segunda ordem, diferenciabilidade, planos tangentes, gradientes, diferenciais, regra da cadeia e funções implícitas. Sem resolução.

Tipo

Exercícios

Cadeira

Cálculo Diferencial e Integral II

Curso

Engenharia Mecânica

Universidade

Instituto Superior Politécnico de Tecnologias e Ciências

Ano

2021

Também conhecida como

Cálculo II, Cálculo 2, Cálculo Diferencial e Integral 2, Análise Matemática II, Análise Matemática 2, Análise II

Ficheiro

PDF, 13 páginas

Preço

15 pontos

Resolução

Inclui a resolução

Publicado por

Veteraano (equipa do Veteraano)

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Cálculo Diferencial e Integral IIoFicha de Exercícios n. 3Derivadas parciaisde funções reais de várias variáveis reaisoAno lectivo 2021/2. Semestre1. Usando a definição de derivada parcial, determime:∂f∂f 2 2(0,0) e (1,1) para f(x, y) = 2x y +y;1.1∂x ∂y∂f ∂f1.2 (1,−1) e (1,1) para f(x, y) = 2x+ 3y + 2xy;∂x ∂y22xy +y se y ≥ x∂f∂f(1,0) e (1,2) para f(x, y) =1.3.∂x ∂y 3x+ 2y se y < x2. Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções definidas por:2 x y2.1 f(x, y) = 2x + 3xy 2.6 f(x, y) = ln(e +e)2 y 2 22.2 f(x, y) = x e + sin(xy) 2.7 f(x, y) = x +yx+yx+ 12.8 f(x, y) =2.3f(x, y) = ln2 2x+yy2 yz3232.9 f(x, y, z) = x e +yln(z)2.4f(x, y) =xy+xy+x2 22xyx+y+z2.5 f(x, y) = e 2.10 f(x, y, z) = 523.Considere a funçãof:D⊆R −→ R, definida por xy √ se (x, y) 6= (0,0)2 2x+yf(x, y) = 0 se (x, y) = (0,0)∂f ∂fCalcule (x, y) e (x, y).∂x ∂y

Página 224.Considere a funçãof:D⊆R −→ R, definida por 2xyse (x, y) 6= (0,0)2 2x+yf(x, y) =0 se (x, y) = (0,0)∂f∂f(x, y) e (x, y).Calcule∂x ∂y5. Calcule as derivadas parciais de segunda ordem das funções definidas por:25.1 f(x, y) = 2x + 3xy 5.4 f(x, y) = ln (x+y) + ln (x−y)2 y5.2 f(x, y) = x e + sin(xy) 5.5 f(x, y, z) = sin(xyz)x+ 15.3 f(x, y) = ln 2 yz5.6f(x, y, z) =xe +ylnzy2 2∂z∂z2x6.Verifique se a funçãoz=eln(3ky) (k ∈ R) satisfaz a equação + = 0.2 2∂x∂y2 2∂z∂zkx7.Verifique se a funçãoz=ecos(ky) (k ∈ R) satisfaz a equação + = 0.2 2∂x∂y2 22x+y8. Considere a função f definida, em R, por f(x, y) = e.2 2 2∂f∂f∂f2 2 2Verifique se a função satisfaz a equaçãoy(x, y)−x(x, y) =xy (x, y),∀(x, y)∈R.2 2∂x∂y ∂x∂y2 2 29.Considere a funçãofdefinida porf(x, y, z) =x+y+ 4z + 1.3∂f9.1 Calcule∂x∂y∂z3∂f9.2 Calcule∂z∂x∂y210.Considere a funçãofdefinida porf(x, y) =2xy+y.2∂f10.1 Calcule∂x∂y3∂f10.2 Calcule3∂x211.Usando a definição, verifique que as funções dadas são diferenciáveis emR2 211.1f(x, y) = 2x−y11.2 f(x, y) = 2xy12. Verifique se as seguintes funções são diferenciáveis na origem.3 32 212.1 f(x, y) = x + y