2.ª Prova Parcelar de Cálculo Diferencial e Integral I, turma ECV1 T1 · ISPTEC · 2018

2.ª Prova Parcelar de Cálculo Diferencial e integral I, do curso de Engenharia Civil no Instituto Superior Politécnico de Tecnologias e Ciências (ISPTEC), 2018. Docente: Prof. José Maria Samuco.

Enunciado da 2.ª prova parcelar, de 24/05/2018, com proposta de resolução e critérios de classificação. Tem 5 questões: recta normal e derivada da inversa de arctg x, assíntotas e monotonia de x−ln x, continuidade e diferenciabilidade de uma função por ramos, limite com a regra de L'Hôpital e segunda derivada na forma paramétrica.

Tipo

2.ª Prova Parcelar

Cadeira

Cálculo Diferencial e integral I

Curso

Engenharia Civil

Universidade

Instituto Superior Politécnico de Tecnologias e Ciências

Ano

2018

Docente

Prof. José Maria Samuco

Ficheiro

PDF, 8 páginas

Desbloqueado

0 vezes

Cria conta grátis para desbloquear este material e ler todas as páginas.

a2. Prova ParcelarDisciplina Cálculo Diferencial e Integral I Duração: 120 minutosCurso Licenciatura em Engenharia Civil Data: 24/05/2018Docente José Maria Samuco Turma: ECV1 T1oNome do alunoN.:• Responda com uma esferográfica de tinta indelével (que não se pode apagar), de cor preta ou azul.• Não é permitido o uso de calculadora nem de corrector.• Identifique as suas respostas com o número apresentado no enunciado. As respostas não identificadas nãoserão classificadas.• Na resposta a cada questão proposta, apresente todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificaçõesnecessárias.

1. Seja f a função injectiva definida, em R, por f(x) = arctgx.1.1 (2 valores) Determine a equação reduzida da recta normal ao gráfico de f, no ponto deabcissa 1.Proposta de resolução e critério de classificação:1 π11′′= e f(1) = arctg 1 =,Como a derivada deféf(x) =,f(1) =21 +x 1 + 1 2 4uma equação da recta normal ao gráfico de f no ponto de abcissa 1 é1 π 1y−f(1) = − (x−1), ou seja, y− = − (x−1), que é equivalente à equação′f(1) 4 0,5π + 8y = −2x+.41′(x) =Escreverf........................................................... 0,521 +x1′................................................................... 0,2Obterf(1) =2πObter f(1) =................................................................... 0,441(x−1)................................................ 0,4Escrevery−f(1) =−′f(1)π 1Escrever y − = − (x−1).................................................... 0,14 0,5π + 8......................................................... 0,4Escrevery=−2x+4

−1 ′ 21.2(2 valores) Usando a fórmula da derivada da função inversa, mostre que (f)(y) = secy.Sugestão: Comece por resolver a equação y = arctgx em ordem a x.Proposta de resolução e critério de classificação:[]ππ,, y = arctgx ⇐⇒ x = tgy.Parax∈Rey∈−2 2dx 1Aplicando a regra da derivada da função inversa, =, obtém-sedydydx1 1′ 2 2 2(tgy) = = 1 +x = 1 + tg y = sec y=′ 1(arctgx)21 +x−1 ′ 2Portanto, (f)(y) = secy.[)(]ππ,..........................0,5Escrevery= arctgx⇐⇒x= tgyx∈R, y∈−2 21′Escrever (tgy) =....................................................... 0,5′(arctgx)′ 2Obter (tgy)= 1 +x............................................................. 0,5′ 2Obter (tgy)= secy.............................................................. 0,4−1 ′ 2Concluir que (f)(y) = secy.................................................... 0,1

2. Considere a função g, de domínio ]0,+∞[, definida por g(x) = x−lnx.2.1 (3 valores) Estude a função g quanto à existência de assíntotas do seu gráfico.Proposta de resolução e critério de classificação:Assíntotas verticaislim g(x) = lim (x−lnx) = 0−(−∞) = +∞+ +x→0x→0A recta de equação x = 0 é assíntota vertical do gráfico de g.O gráfico de g não admite outras assíntotas verticais, porque g é contínua no seudomínio.Assíntotas não verticais ()x−lnx lnx lnxg(x)= lim = lim 1− = 1− lim =m=limx→+∞ x→+∞ x→+∞x→+∞xxx x1′(lnx)x= 1−lim = 1−0 = 1= 1−lim′ x→+∞x→+∞(x) 1b = lim (g(x)−mx) = lim (x−lnx−x) = − lim lnx = −(+∞) = −∞x→+∞ x→+∞ x→+∞O gráfico de g não admite assíntota não vertical, à direita, porque b /∈ R.O gráfico de g não pode ter assíntotas não verticais à esquerda, porque o seu domínionão contém intervalos ilimitados à esquerda.Obter lim g(x) = +∞............................................................ 0,5+x→0Concluir que recta de equação x = 0 é assíntota vertical do gráfico de g............ 0,2Justificar que o gráfico de g não admite outras assíntotas verticais................ 0,2g(x)Obter m = lim = 1........................................................ 1,3x→+∞ xObter b = lim (g(x)−mx) = −∞................................................0,4x→+∞Concluir que o gráfico de g não admite assíntota não vertical à direita............ 0,2Justificar que o gráfico de g não admite assíntota não vertical à esquerda..........0,2

2.2 (3 valores) Estude a função g quanto à monotonia e quanto à existência de extremos, indi-cando os intervalos de monotonia e os valores extremos relativos, caso existam.Proposta de resolução e critério de classificação:x−11′=.g(x) = 1−x xx−1′g (x) = 0 ⇐⇒ = 0 ⇐⇒ x−1 = ∧x 6= 0 ⇐⇒ x = 1xx 0 1 +∞0 +x1x 0 + + +g 0 +n.d.g(1)g n.d.MinA função g é decrescente no intervalo ]0,1], crescente no intervalo [1,+∞[ e g(1) = 1é mínimo relativo.1′Escrever g (x) = 1−............................................................ 0,8x′Calcular o zero deg.............................................................. 0,4′Estudar o sinal deg.............................................................. 0,6Indicar os intervalos de monotonia de g............................................ 0,8Indicar o extremo relativo de g.................................................... 0,4

3. Considere a função h definida portg(4x) se x > 0h(x) =sen(5x)−x se x ≤ 03.1 (2 valores) Verifique se a função h é contínua em x = 0.Proposta de resolução e critério de classificação:h(0) = sen 0−0 = 0lim h(x) = lim (sen(5x)−x) = sen(5×0)−0 = 0− −x→0x→0lim h(x) = lim tg(4x) = tg(4×0) = 0+ +x→0x→0Como lim h(x) = lim h(x) = 0, conclui-se que limh(x) = 0. Logo, limh(x) =− + x→0 x→0x→0x→0= h(0), pelo que h é contínua em x = 0.Calcular h(0)...................................................................... 0,4Calcular lim h(x).................................................................0,4−x→0Calcular lim h(x).................................................................0,4+x→0Concluir que limh(x) = 0......................................................... 0,4x→0Justificar que h é contínua em x = 0............................................... 0,4

3.2 (3 valores) Averigúe se h é diferenciável em x = 0. Em caso afirmativo, indique o valor de′h(0).Proposta de resolução e critério de classificação:h(x)−h(0) sen(5x)−x−0 sen(5x)′(0) = limh = lim = 5 lim − lim 1 =e− − − −x→0x→05x→0x→0x−0x5x= 5×1−1 = 4′ 2tg(4x)−0(tg(4x))h(x)−h(0)4 sec(4x)′ = lim = lim =h(0) = lim= limd ′+++ +x→0 x→0x→0 x→0x−0x(x) 12= 4×sec (4×0) = 4′ ′ ′Comoh(0) =h(0) = 4∈R, conclui-se quehé diferenciável emx= 0 eh(0) = 4.e d′Calcularh(0)..................................................................... 1,2e′Calcularh(0)..................................................................... 1,2dJustificar que h é diferenciável em x = 0........................................... 0,4′Indicar o valor deh(0)............................................................ 0,24. (2,5 valores) Usando a regra de L’ Hôpital, calcule lim(cotgx−cosecx).x→0Proposta de resolução e critério de classificação:′cosx−1(cosx−1) −senx −sen 0lim(cotgx−cosecx) = lim = lim = lim = = 0.′x→0x→0x→0 x→0senx(senx) cosx cos 0cosx−1Escrever lim(cotgx−cosecx) = lim.......................................... 0,5x→0 x→0 senx′cosx−1(cosx−1)Escrever lim = lim............................................... 0,4′x→0x→0senx(senx)′ −senx(cosx−1)Escrever lim = lim................................................. 1,4′x→0 x→0(senx) cosxConcluir que lim(cotgx−cosecx) = 0..................................................0,2x→0

5. (2,5 valores) Considere que, para t ∈]−1,1[, as equaçõesx = arcsent2y=1−tdefinem y como função de x, na forma paramétrica.Utilizando a regra da derivada de uma função definida na forma paramétrica, calcule a derivada2dyade 2. ordem.2dxProposta de resolução e critério de classificação:−2t√2 2(dy1−t)21−t= = = −t′ 1dx(arcsent)21−t′2 √(−t)−1dy2===−1−t2 ′ 1dx(arcsent)21−t′2dy(1−t)Escrever =.............................................................. 0,2′dx(arcsent)−2t2dy21−tEscrever =................................................................. 11dx √21−tdyEscrever = −t...................................................................... 0,3dx2 ′dy(−t)Escrever =..............................................................0,22 ′dx(arcsent)2dy −1Escrever =............................................................... 0,62 1dx21−t2 √dy2Escrever=−1−t.............................................................. 0,22dxFIM