1.ª Prova Parcelar de Cálculo Diferencial e integral I, do curso de Engenharia Civil no Instituto Superior Politécnico de Tecnologias e Ciências (ISPTEC), 2018. Docente: Prof. José Maria Samuco.
Prova parcelar com duração de 100 minutos contendo cinco questões sobre domínio de funções, logaritmos, funções inversas, limites e identidades trigonométricas. Inclui propostas de resolução e critérios de classificação detalhados para cada questão.
a1. Prova ParcelarDisciplina Cálculo Diferencial e Integral I Duração: 100 MinutosCurso Licenciatura em Engenharia Civil Data: 12/04/2018Docente José Maria Samuco Turma: ECV1 T1oNome do alunoN.:• Responda com uma esferográfica de tinta indelével (que não se pode apagar), de cor preta ou azul.• Não é permitido o uso de calculadora nem de corrector.• Identifique as suas respostas com o número apresentado no enunciado. As respostas não identificadas nãoserão classificadas.• Na resposta a cada questão proposta, apresente todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificaçõesnecessárias.• Nas folhas de resposta, apenas as páginas sem quadrículados ou sem linhas devem ser usadas para rascunho.O que escrever nessas páginas não será classificado. Não apresente as suas respostas nessas páginas.• Na resolução das questões que envolvem o cálculo de limites, não é permitido o uso da regra de L’Hospital/regrade Cauchy nem o uso de infinitésimos equivalentes. O não cumprimento desta norma, implica a atribuiaçãode zero valores a todas as etapas que dependam da aplicação das regras atrás referidas.
log (5x+ 1)31. Seja f a função definida por f(x) =.x1.1 (2 valores) Determine o domínio da função f.Apresente o resultado usando intervalos de números reais.Proposta de resolução e critério de classificação:1D = {x ∈ R: 5x+ 1 > 0∧x 6= 0} = x ∈ R: x > − ∧x 6= 0 =f5][1= −,0 ∪]0,+∞[5Escrever D = {x ∈ R: 5x+ 1 > 0∧x 6= 0}......................................... 1f{}1Escrever D = x ∈ R: x > − ∧x 6= 0......................................... 0,5f5][1−EscreverD=,0 ∪]0,+∞[.................................................. 0,5f51.2 (2 valores) Calcule limf(x), usando a mudança de variável definida por u = log (5x+ 1).3x→0Proposta de resolução e critério de classificação:u 5log(5x+ 1)5u 53= lim = limlimh(x) = lim= lim =uuu3−1 3 −1u→0u→0x→0x→0u→0x3−1 ln 35 ulog (5x+ 1) u3Escrever lim = lim............................................ 0,8u3−1x→0 u→0x5u 5Escrever lim = lim................................................. 0,8uu3−13−1u→0 u→05 u5 5Escrever lim =........................................................ 0,3u3−1u→0 ln 3u5Concluir que limf(x) =...................................................... 0,1x→0 ln 32. O nível N de um som, medido em decibéis, é função da sua intensidade I ( I > 0), medida emwatt por metro quadrado, de acordo com a igualdade120 10N = log 10 ×I102.1 (1,5 valores) Verifique que N = 120 + 10 log I.10Proposta de resolução e critério de classificação:120 10 120 10N= log(10×I) = log10+ logI = 120 + 10 log I10 10 10 10120 10EscreverN= log10+ logI.................................................. 110 10Escrever N = 120 + 10 log I...................................................... 0,5102.2 (1,5 valores) Admita que o nível de ruído de um avião a jacto, ouvido por uma pessoa quese encontra na varanda de um aeroporto, é de 130 decibéis. Determine a intensidade dessesom, em watt por metro quadrado.Proposta de resolução e critério de classificação:120 + 10 log I = 130 ⇐⇒ 10 log I = 10 ⇐⇒ log I = 1 ⇐⇒ I = 10101010Escrever 120 + 10 log I = 130.................................................... 0,110Obter log I = 1.................................................................. 0,910Escrever I = 10................................................................... 0,5
x+ 13. Considere a função injectiva g definida por g(x) = arccos.x−13.1 (3 valores) Determine o domínio de g.Apresente o resultado sob a forma de intervalo de números reais.Proposta de resolução e critério de classificação:x+ 1 x+ 1D = x ∈ R: ≥ −1∧ ≤ 1gx−1 x−1x+ 1 x+ 1 2x≥ −1 ⇐⇒ + 1 ≥ 0 ⇐⇒ ≥ 0 ⇐⇒x−1 x−1 x−1⇐⇒ (2x ≥ 0∧x−1 > 0)∨(2x ≥ 0∧x−1 < 0) ⇐⇒⇐⇒ (x ≥ 0∧x > 1)∨(x ≤ 0∧x < 1) ⇐⇒ x > 1∨x ≤ 0x+ 1 2x+ 3≤ 1 ⇐⇒ −1 ≤ 0 ⇐⇒ ≤ 0 ⇐⇒ x−1 < 0 ⇐⇒ x < 1x−3 x−1 x−1D = {x ∈ R: (x > 1∨x ≤ 0)∧x < 1} = {x ∈ R: x ≤ 0} =]− ∞,0]gx+ 1 x+ 1Escrever D = x ∈ R:................................ 0,6≥ −1∧≤1gx−1 x−1x+ 1Resolver a inequação ≥ −1.................................................. 1,2x−1x+ 1Resolver a inequação ≤ 1................................................... 0,8x−1Escrever D =]− ∞,0]............................................................ 0,4g
−13.2(2 valores) Caracterize a funçãog, função inversa deg, determinando a expressão analíticae o domínio.Proposta de resolução e critério de classificação:Para x ∈ D, tem-segx+ 1 x+ 1y = arccos ⇐⇒ cosy = ∧y ∈ [0, π] ⇐⇒ (x−1) cosy = x+ 1∧y ∈x−1 x−1[0, π] ⇐⇒ xcosy−cosy−x = 1∧y ∈ [0, π] ⇐⇒ x(cosy−1) = 1+cosy∧y ∈ [0, π] ⇐⇒1 + cosy1 + cosy∧y ∈ [0, π]∧cosy −1 6= 0 ⇐⇒ x = ∧y ∈ [0, π]∧y 6= 0x=cosy −1 cosy −11 + cosx−1 −1Então, g (x) = e o domínio de g é ]0, π].cosx−1x+ 1Escrever y = arccos..................................................... 0,1x−1x+ 1Escrever cosy =............................................................ 0,7x−11 + cosyObter x = ∧y 6= 0....................................................... 0,8cosy −1−1Indicar o domínio deg......................................................... 0,44. Calcule os limites seguintes, caso existam.4x −14.1 (3 valores) lim2x→13x −4x+ 1Proposta de resolução e critério de classificação:4 3 2 3 2x−1(x−1)(x+x+x+ 1)x+x +x+ 1lim = lim = lim =2x→1 x→1 x→13x−4x+ 1 (x−1)(3x−1) 3x−13 21+ 1 + 1 + 1= = 23×1−14 3 2x−1(x−1)(x+x +x+ 1)Escrever lim = lim............................ 22x→1 x→13x−4x+ 1 (x−1)(3x−1)4 3 2x−1x+x +x+ 1Escrever lim = lim...................................0,82x→1 x→13x−4x+ 1 3x−14x −1Obter lim = 2....................................................... 0,22x→13x −4x+ 1
1−cos(3x)4.2 (3 valores) lim2x→0cos(5x)−1Proposta de resolução e critério de classificação:1−cos(3x) 1 + cos(3x)1−cos(3x)1−cos(3x)()lim= lim= lim =2 2x→0x→0 x→0cos(5x)−1 −sen(5x) 2− 1 + cos(3x) sen (5x)22sen(3x)1−cos(3x)() ()= lim == limx→0x→02 2− 1 + cos(3x) sen (5x) − 1 + cos(3x) sen (5x)2 −1 9sen(3x)99−12= lim× = −×= 1××2 2 2x→0sen(5x)(3x)1 + cos(3x)25×1 1 + cos 0 5025×2(5x)Nota: x → 0 ⇐⇒ 3x → 0 e x → 0 ⇐⇒ 5x → 0Levantar a indeterminação........................................................ 2,591−cos(3x)= −.................................................... 0,5Obter lim2x→0cos(5x)−1 5025.(2 valores) Mostre que sen(arccosx) =1−x, com x ∈ [−1,1].Proposta de resolução e critério de classificação:2Sejay= arccosx. Então, vamos mostrar que seny=1−x.y = arccosx ⇐⇒ cosy = x∧y ∈ [0, π].2 2 2 2 21−x.Como cosy+ seny= 1∧y∈[0, π], entãox+ seny= 1⇐⇒seny=Escrever y = arccosx.................................................................. 0,4Escrever cosy = x∧y ∈ [0, π]..........................................................0,82 2Escreverx+ seny = 1............................................................... 0,22Justificar que seny=1−x......................................................... 0,6FIM