Lista de Exercícios de Cálculo Diferencial e Integral II, do curso de Engenharia Mecânica no Instituto Superior Politécnico de Tecnologias e Ciências (ISPTEC), 2021.
Ficha de exercícios n.º 4 do 2.º semestre de 2021, com 20 grupos sobre extremos de funções de várias variáveis: extremos locais sem restrições, extremos condicionados (multiplicadores de Lagrange) e problemas de otimização. Tem as soluções de parte dos exercícios no fim.
Cálculo Diferencial e Integral IIoFicha de Exercícios n. 4Máximos e mínimosde funções reais de várias variáveis reaisoAno lectivo 2021/2. SemestreMáximos e mínimos sem restrições1. Estude, as funções a seguir definidas, quanto à existência de extremos locais:2 21.1f(x, y) =x+ 3xy+ 4y −6x+ 2y2 31.2f(x, y) =x+y +xy −3x−4y + 53 21.3f(x, y) =x+ 2xy+y −5x2 21.4f(x, y) =−x+y + 2xy + 4x−2y3 21.5f(x, y) =x−3xy + 27y2 21.6f(x, y) =x−4xy+ 4y −x+ 3y + 13 2 21.7 f(x, y) = x + 2xy + 4y −6x−12y4 4 2 21.8f(x, y) =x+y−2x−2y4 21.9f(x, y) =x+xy+y −6x−5y4 41.10f(x, y) =x+y + 4x+ 4y2. Estude, as funções a seguir definidas, quanto à existência de extremos locais:2 2 22.1f(x, y, z) =x+ 5y+ 2z + 4xy −2x−4y −8z + 23 3 32.2f(x, y, z) =x+y+z −3x−3y −3z + 23 2 22.3f(x, y, z) =x+ 2xy+y+z −5x−4z2 2 22.4f(x, y, z) =x−y+ 4z + 2xz −4yz −2x−6z
Página 23. Determine, caso existam, os extremos locais das funções definidas por:3 23.1f(x, y) =−x+ 4xy−2y + 12 2 2 23.2f(x, y) = 3xy+y−3x −6y + 73 2 23.3 f(x, y) = 1− x +y4. Considere as rectas r e s de equações, respectivamente,(x, y, z) = (0,0,2) +λ(1,2,0), λ ∈ R e (x, y, z) = (0,0,4) +μ(1,1,1), μ ∈ RDetetermine P e Q, com P ∈ r e Q ∈ s, de modo que a distância de P a Q seja a menor possível.5. Uma empresa produz dois produtos cujas quantidades são indicadas por x e y. Tais produtos sãovendidos ao preço unitário de p = 120−2x e p = 200−y, respectivamente. O custo total da122 2empresa para produzir e vender quantidadesxeydos produtos é dada porC=x+ 2y+ 2xy.Admitindo que toda a produção da empresa é vendida, determine a produção que maximiza olucro.Máximos e mínimos num conjunto compacto6. Estude a função f quanto à existência de extremos no conjunto dado:{ }ππ26.1f(x, y) = senx+ seny+ sen(x+y), emA=(x, y)∈R: 0 ≤ x ≤ ∧0 ≤ y ≤2 226.2f(x, y) = 3x−y, emA={(x, y)∈R: x ≥ 0∧y ≥ 0∧y −x ≤ 3∧x+y ≤ 4∧3x+y ≤ 6}2 2 26.3f(x, y) = 3x−y, emA={(x, y)∈R:x+y ≤ 1}2 26.4f(x, y) =x+ 3xy−3x, emA={(x, y)∈R: x ≥ 0∧y ≥ 0∧y +x ≤ 1}26.5f(x, y) =xy, emA={(x, y)∈R: x ≥ 0∧y ≥ 0∧y + 2x ≤ 5}2 2 2 2 26.6f(x, y) =y−x, emA={(x, y)∈R:x+y ≤ 4}2 2 26.7f(x, y) =x−2xy+ 2y, emA={(x, y)∈R: |x|+|y| ≤ 1}2 27.Suponha queT(x, y) = 4−x−y uma distribuição de temperatura no plano.2SejaA={(x, y)∈R: x ≥ 0∧y ≥ x∧2y +x ≤ 4}. Determine o ponto de A de menor tempe-ratura. 5x+ 6y ≤ 30 3x+ 2y ≤ 128. Determine o máximo de f(x, y) = x+ 5y, onde x e y estão sujeitas às restrições x ≥ 0 y ≥ 09. Uma determinada empresa está interessada em maximizar o lucro mensal proveniente provenientede dois dos seus produtos, designados por A e B. Para fabricar estes produtos ela utiliza um tipode máquina que tem uma disponibilidade de 200 máquina-hora por mês e tipo de mão de obraPágina 3com uma disponibilidade de 240 homens-hora por mês. Para produzir uma unidade do produtoA utizam-se 5 horas de máquina e 10 horas de mão de obra, enquanto que para o produto Butilizam-se 4 horas de máquina e 4 horas de mão de obra. Espera-se uma demanda de 20 unidadespor mês do produto A e 45 do produto B. Estima-se um lucro, por unidade, de 10 Kz para oproduto A e de 6 Kz para o produto B. Determine a produção mensal de cada um dos doisprodutos para o lucro mensal ser máximo.Extremos condicionados e o método dos multiplicadores de Lagrange10. Estude, as funções a seguir definidas, quanto à existência de máximos e mínimos.2 210.1f(x, y) = 3x+ysujeito ax+ 2y = 12 210.2f(x, y) = 3x+ysujeito ax+ 2y ≤ 12 210.3f(x, y) =x+ 2y sujeito a 3x+y = 12 210.4f(x, y) =x+ 4y +y sujeito a xy = 1, x > 0 e y > 02 210.5f(x, y) =xysujeito ax+ 4y = 82 210.6f(x, y) =x+xy+y sujeito a x+ 2y −1 = 02 2 2 210.7f(x, y) =x−2xy+ysujeito ax+y = 12 2 2 210.8f(x, y) =x−2ysujeito ax+y −2x = 03 310.9f(x, y) =x+y −3x−3y +y sujeito a x+ 2y = 32 2 2 210.10f(x, y) =x−2xy+ 3ysujeito ax+ 2y = 111. Determine o ponto da recta de equação x+ 2y = 1.212.Determine o ponto da parábola de equaçãoy=x mais próximo do ponto de coordenadas(14,1).2 2 213.Determine o ponto do elipsóide de equaçãox+ 4y+z = 1 que maximiza a soma x+ 2y+z.14. Determine o ponto do plano de equação x+ 2y −3z = 4 mais próximo da origem.x+ 2y +z = 115. Determine o ponto da recta de equações que se econtra mais próximo da2x+y +z = 4origem.16. Determine, entre os triângulos com o mesmo perímetro, o de área máxima.p(p−a)(p−b)(p−c) que dá a área do triângulo cujos lados medem a, b e cSugestão:Utilize a fórmulaA=e o semiperímetro é p.17. Determine o paralelepípedo rectânglo de área máxima, entre aqueles que têm igual volume.
Página 4318.Deseja-se construir uma caixa, sem tampa, com 1 m de volume e com a forma de paralelepípedorectânglo. O materiala ser usado para confeccionar o fundo custa o dobro do que será usado naslaterais. Determine as dimensões da caixa que minimiza o custo do material.219.Pretende-se construir um paralelepípedo rectânglo com área total 100cm. Determine as di-mensões para que o volume seja máximo.220.A temperaturaTem qualquer ponto (x, y, z) do espaço é dado porT(x, y, z) = 100xyz. De-2 2 2termine a temperaturamáxima sobre a esferax+y+z ≤ 4. Qual é a temperatura mínima?
Página 5Soluções1. ()54 221.1,− é ponto de mínimo local.7 723 51.2 (1,1) é ponto de mínimo local e,− é ponto de sela.12 65 51.3,− é ponto de mínimo local e (−1,1) é ponto de sela.3 33 11.4,− é ponto de sela.2 23 31.5 3, e −3,− são pontos de sela.2 21.6 f não tem pontos críticos.1.7 (2,1) é ponto de mínimo local.1.8 Pontos de mínimo local: (1,1),(1,−1), (−1,1) e (−1,−1)Pontos de máximo local: (0,0)Pontos de sela: (0,1),(0,−1), (1,0) e (−1,0)1.9 (1,2) é ponto de mínimo local.1.10 Pontos de mínimo local: (1,1)Pontos de máximo local: (−1,−1)Pontos de sela: (1,−1) e (−1,1)2.2.1 (1,0,2) é ponto de mínimo local.2.2 Ponto de mínimo local: (1,1,1)Pontos de máximo local: (−1,−1,−1)Pontos que não são extremantes: (1,−1,1),(1,−1,−1), (−1,1,1), (−1,1,−1) e (−1,−1,1)5 52.3 (−1,1,2) não é extremante e,−,2 é ponto de mínimo local.3 32.4 (1,0,2) não é extremante.3.593.1 é máximo local.273.2 −2 é mínimo local.3.3 1 é máximo local.5 5 74. P(−1,−2,2) e Q −,−,3 3 3(Sugestão: Como (λ,2λ,2) e (μ, μ, μ+4) são pontos arbitrários das rectas r e s, respectivamente, a distância entre2 2 2222eles é(λ−μ)+ (2λ−μ)+ (2 +μ). Basta determinar (λ,μ) que minimizag(λ, μ) = (λ−μ)+ (2λ−μ)+ (2 +μ)).
Página 65. x = 10 e y = 306.π π 3 36.1 f, = é máximo.3 3 26.2 f (2,0) = 6 é máximo e f (0,3) = −3 é mínimo.10 10 3 10 103, é ponto de máximo e, é ponto de mínimo.6.3−10 10 10 106.4 f (0, y) = 0 é máximo (para 0 ≤ y ≤ 1) e f (1,0) = −2 é mínimo.5 5 255). f, = 6.5f(0, y) =f(x,0) = 0 é mínimo (para 0≤y≤5 e 0≤y≤2 4 2 86.6 O único ponto crítico no interior de A é (0,0) que não é extremante. Assim, f assumirá os2 2valores máximo e mínimo na fronteirax+y = 4. g(t) = f(2 cost,2 sent) fornece os valorde f na fronteira. O valor máximo é 4, sendo atingido nos pontos (0,2) e (0,−2). O valormínimo é −4, sendo atingido nos pontos (2,0) e (−2,0).6.7 O valor mínmo é f(0,0) = 0 e o valor máximo é f(0,1) = f(0,−1) = 0.7. (0,2)8. f(0,5) = 259. O lucro é máximo para x = 8 e y = 40 (O problema consiste em maximizar o lucro L = 10x+ 6y,nas restrições 0 ≤ x ≤ 20, 0 ≤ y ≤ 45, 5x+ 4y ≤ 200,10x+ 4y ≤ 240, onde x é a quantidade doproduto A e y é a quantidade do produto B).10. Estude, as funções a seguir definidas, quanto à existência de máximos e mínimos com as res-trições dadas.1 6 16√ √ √ √,; Ponto de mínimo:−,−10.1Ponto de máximo:38 38 38 386 1 6 6√ √ √ √10.2Ponto de máximo:,; Ponto de mínimo:−,−38 38 38 386 1√ √10.3Ponto de mínimo:,19 19√ 210.4 Ponto de mínimo: 2,210.5 Pontos de máximo: (2,1) e (−2,−1); Pontos de mínimo: (−2,1) e (2,−1)10.6 Ponto de mínimo: (−1,1)1 1 1 1 1 1√ √ √ √ √ √10.7Pontos de máximo:,−e−,; Ponto de mínimo:,−2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 210.8 Pontos de mínimo:, e,−; Ponto de máximo: (2,0)3 3 3 3
Página 713 1710.9 Pontos de mínimo: (1,1); Ponto de máximo: −,7 71 2 21111 1√ √ √ √ √ √ √ √e−; Pontos de mínimo:e−10.10Pontos de máximo:,−,,,−3 3 3 3 6 6 6 611,11.2 412. (2,4)2 2 2(Sugestão: Minimize a funçãof(x, y) = (x−14)+ (y−1)), considerando a restriçãoy=x)1 1 1√ √ √13.,,3 2 3 32 4 614.,,−7 7 72 2 2(Sugestão: Minimize a funçãof(x, y, z) =x+y+z, considerando a restrição x+ 2y −3z = 4)9 524,−,15.11 11 112 2 2(Sugestão: Maximize a funçãof(x, y, z) =x+y+z, considerando as restrições x+ 2y+z = 1 e 2x+y+z = 4)5 616.Triângulo equilátero.cm.19.Cubo de aresta317. Cubo.20. Temperatura máxima: 200Temperatura mínima: −20018.Cubo de aresta 1 m.Referênciasa[1] Hamilton Luiz Guidorizzi.Um Curso de Cálculo, Vol. 2, 5. edição. Livros Técnico e CientíficosEditora. Rio de Janeiro, 2014.n[2] Manuel Alberto Ferreira.Cálculo Diferencial emR - Exercícios. Edições Sílabo, 2008.[3] Paula Carvalho e Luís Descalço. Cálculo Diferencial a Várias Variáveis. Sílabas e Desafios, 2016.