2.ª Prova Parcelar de Cálculo Diferencial e Integral II, turma EMC2 T1 (com resolução) · ISPTEC · 2017

2.ª Prova Parcelar de Cálculo Diferencial e Integral II, do curso de Engenharia Mecânica no Instituto Superior Politécnico de Tecnologias e Ciências (ISPTEC), 2017. Docente: Prof. José Maria Samuco.

Enunciado da 2.ª prova parcelar, com resolução e critérios de classificação. Trata derivadas parciais de 1.ª e 2.ª ordem, continuidade de uma função com parâmetro k, limites de funções de duas variáveis, domínio representado geometricamente e volume de um sólido por integral.

Tipo

2.ª Prova Parcelar

Cadeira

Cálculo Diferencial e Integral II

Curso

Engenharia Mecânica

Universidade

Instituto Superior Politécnico de Tecnologias e Ciências

Ano

2017

Docente

Prof. José Maria Samuco

Ficheiro

PDF, 7 páginas

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2.ª Prova ParcelarDuração: 100 minutosDisciplinaCálculo Diferencial e Integral IILicenciatura em Engenharia Mecânica Data: 1/11/2017CursoJosé Maria Samuco Turma: EMC2 T1DocenteNome do aluno N.º:• Na resposta a cada questão proposta, apresente todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificaçõesnecessárias.• Responda com uma esferográfica de tinta indelével, de cor preta ou azul.• Não é permitido o uso de calculadora nem de corrector.• Identifique as suas respostas com o número apresentado no enunciado. As respostas não identificadas serãoclassificadas com zero valores.• Nas folhas de resposta, apenas as páginas sem quadriculados ou sem linhas devem ser usadas para rascunho.Não apresente as suas respostas nessas páginas. Se o fizer, as suas respostas não serão classificadas.1. Sejam f e g as funções definidas, respectivamente, por4x 2 2f(x, y) = e cos(4y) e g(x, y, z) = x sen(2x) +y sec(5z).a1.1(2 valores) Determine as derivadas parciais de 1. ordem da função g.Resolução/critério de classificação:′ 2g(x, y, z) = 2xsen(2x) + 2xcos(2x)x′g(x, y, z) = 2ysec(5z)y′ 2g(x, y, z) = 5ysec(5z) tg(5z)z′Calcularg(x, y, z)................................................................ 0,8x′Calcularg(x, y, z)................................................................ 0,6y′Calcularg(x, y, z)................................................................ 0,6z

2 2∂f∂f1.2 (3 valores) Verifique se a função f satisfaz a equação (x, y) + (x, y) = 0.2 2∂x∂yResolução/critério de classificação:∂f 4x(x, y) = 4e cos(4y)∂x2∂f4x(x, y) = 16ecos(4y)2∂x∂f 4x(x, y) = −4e sen(4y)∂y2∂f4x(x, y) =−16ecos(4y)2∂x22∂f∂f4x 4x(x, y) + (x, y) = 16e cos(4y) + (−16e cos(4y)) = 02 2∂x∂y′(x, y).................................................................. 0,7Calcularfx′′Calcularf (x, y)..................................................................0,7xx′(x, y)...................................................................0,7Calcularfy′′ (x, y).................................................................. 0,7Calcularfyy2 2∂f∂fCalcular (x, y) + (x, y).................................................... 0,12 2∂x∂yConclusão (A função f satisfaz a equação dada.).................................. 0,1

22.(3 valores) Considere a funçãoj, de domínioR, definida por3 2 3 3xy−2xy+x se (x, y) 6= (0,1) y −1j(x, y) =k −1 se (x, y) = (0,1)Para um certo valor k ∈ R, a função j é contínua no ponto (0,1). Determine o valor de k.Resolução/critério de classificação:j(0,1) = k −13 232330x(y−1)xy−2xy+x0 3= lim = lim (y −1)) = 0×0 = 0lim(xj(x, y) = limx→0 x→0x→0x→0y−1y−1y→1 y→1y→1y→1Como a função j é contínua no ponto (0,1), limj(x, y) = j(0,1), ou seja, k−1 = 0. Pelo quex→0y→1k = 1.Escrever j(0,1) = k −1................................................................ 0,2Levantar a indeterminação em limj(x, y).............................................. 1,8x→0y→1Concluir que limj(x, y) = 0............................................................ 0,4x→0y→1Escrever limj(x, y) = k −1............................................................ 0,4x→0y→1Obter k = 1........................................................................... 0,2

3. Considere as funções h e p definidas, respectivamente, por2 2x+yln(x+y+ 3)√ep(x, y) =h(x, y) =.2 2x+y+ 2x+y + 1−13.1 (3 valores) Calcule lim h(x, y).(x,y)→(0,−2)Resolução/critério de classificação:′0ln(z+ 3)ln(x+y+ 3)(ln(z+ 3)) 1z=x+y 0= lim =lim= lim= lim′z→−2z→−2 z→−2(x,y)→(0,−2)x+y+ 2z+ 2(z+ 2) z + 31= = 1−2 + 3ln(x+y + 3) ln(z + 3)z=x+yEscrever lim = lim.............................. 0,4z→−2(x,y)→(0,−2)x+y+ 2 z + 2′(ln(z+ 3))ln(z+ 3)= lim........................................ 0,6Escreverlim′z→−2z→−2z+ 2(z+ 2)ln(z + 3) 1Escrever lim = lim.............................................. 1,8z→−2 z→−2z+ 2 z + 3Concluir que lim h(x, y) = 1................................................ 0,2(x,y)→(0,−2)3.2 (3 valores) Calcule lim p(x, y).(x,y)→(0,0)Resolução/critério de classificação:2 2 2 2(x+y)x+y + 1 + 1220x +y 0(√) (√)√=limlim =2 2 (x,y)→(0,0)(x,y)→(0,0) 2 2 2 2x+y+ 1−1x+y+ 1−1x+y + 1 + 12 2 2 2 (√)(x+y)x+y+ 1 + 12 2=lim=limx+y + 1 + 1 =2 2(x,y)→(0,0) (x,y)→(0,0)x+y= 0 + 1 + 1 = 2Levantar a indeterminação........................................................ 2,8Obter o valor de lim p(x, y).................................................. 0,2(x,y)→(0,0)

3.3 (2 valores) Represente geometricamente o domínio da função h.Nota: Deve começar por determinar analiticamente o domínio da função h.Resolução/critério de classificação:2 2D={(x, y)∈R:x+y+3>0∧x+y+26= 0}={(x, y)∈R: y > −x−3∧y 6= −x−2}hA região sombreada da figura abaixo representa o domínio da função h.yx-3-2O-2-3 y=-x-2y=-x-32EscreverD={(x, y)∈R: x+y + 3 > 0∧x+y + 2 6= 0}........................0,8h2EscreverD={(x, y)∈R: y > −x−3∧y 6= −x−2}............................ 0,4hRepresentar geometricamente o domínio........................................... 0,8

4. (2 valores) Na figura abaixo estão representadas a recta de equação x = 8 e a região R. A região2 2Ré a região sombreada e limitada pelas parábolas de equaçõesx=−2y+ 16 ex=−y + 12.yxO8Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região R, em torno da rectade equação x = 8.Resolução/critério de classificação:As parábolas intersectam-se nos pontos cujas ordenadas são dadas pela equação2 2−2y+ 16 =−y + 12.2 2 2−2y+ 16 =−y+ 12⇐⇒y = 4 ⇐⇒ y = −2∨y = 2O volume V do sólido de revolução gerado pela rotação da região R, em torno da recta de∫∫222 222(−y + 12−8) dy.(−2y+ 16−8)dy−πequaçãox= 8, é dado pela expressãoV=π−2−2Então,∫ ∫ ∫2 2 24 2 4 2 4 2V = π (4y −32y + 64)dy −π (y −8y + 16)dy = π (3y −24y + 48)dy =−2 −2 −2∣2() ∣3 ∣53= π y −8y + 48y =∣∣5−2() ()3 3 512π5353= π ×2 −8×2 + 48×2 −π ×(−2) −8×(−2) + 48×(−2) =5 5 52 2Resolver a equação−2y+ 16 =−y + 12.............................................. 0,4Escrever uma expressão que dá o volume V do sólido.................................. 0,8∣2() ∣3 ∣53Escrever V = y −8y + 48y................................................... 0,6∣∣5−2512πObter V =....................................................................... 0,25

∫ 0xdx5. (2 valores) Calcule o integral impróprio.4x + 1Resolução/critério de classificação:2xdx du1 1 1u=x2= = arctgu+C = arctgx +C, C ∈ R4 2x+ 12u + 1 2 2] ()[∫∫0001 πxdxxdx122= lim 0− = −=lim=limarctgxarctgb4 4 b→−∞b→−∞b→−∞x+ 1 x+ 1 2 2 4−∞ b bxdxCalcular..................................................................... 1,44x + 1∫ 0xdx, com b < 0......................................................... 0,2Calcular4x + 1b∫ ∫0 0xdx xdxEscrever = lim................................................ 0,24 4b→−∞x+ 1 x + 1−∞ b∫ 0xdxCalcular lim............................................................... 0,24b→−∞x + 1bFIM