Ficha de exercícios de Cálculo Diferencial e Integral III, do curso de Engenharia Mecânica no Instituto Superior Politécnico de Tecnologias e Ciências (ISPTEC), 2026. Docente: Prof. Joaquim Bumba.
Ficha de exercícios de Cálculo Diferencial e Integral III (Engenharia Mecânica, ISPTEC), do ano letivo de 2026. Tem 6 páginas. Inclui a resolução.
1Cálculo Diferencial e Integral IIICursos de EngenhariaFicha de Exercícios nº 01Prazo para Resolução: 15/11/2024Integrais MúltiplosIntegrais DuplosI. Calcule 𝑥𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦, onde𝐷 é a região do plano limitada pela linha𝑦 =∬𝐷2𝑥 − 1e a parábola𝑦 = 2𝑥 + 6. Resposta:36.1 1 12)𝑑𝑦𝑑𝑥 (1 − cos(1)).II. Calcule o integral iterado.Resposta:∫ ∫ 𝑠𝑖𝑛(𝑦0 𝑥 2III. Calcule os seguintes integrais.2𝑦a) 𝑑𝑥𝑑𝑦, onde 𝐷 = {(𝑥, 𝑦): 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 0 ≤ 𝑦 ≤ √𝑥};∬2𝐷 𝑥 +11Resposta: log(2).2𝑥3𝑦b)𝑒𝑑𝑥𝑑𝑦,onde𝐷 = {(𝑥, 𝑦): 𝑦 ≤ 𝑥 ≤ 𝑦, 1 ≤ 𝑦 ≤ 2}.∬𝐷4𝑒Resposta: − 2𝑒.2IV. Calcule∬ 2𝑥𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦,𝐷2 2onde𝐷é a região deℝdo primeiro quadrante limitada por𝑦 = 2𝑥e𝑦 =25𝑥 + 1. Resposta:.12Ficha de Exercícios nº1 Cálc. Dif. e Integral III Prof. Doutor Euclides Luís, Ph.D.Veteraano
2V. Calcule2∬𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑦,𝐷5 5 15322onde𝐷é a região deℝ limitada por𝑦 = 1 − 𝑥 e𝑦 = 𝑥 −. Resp.:.3 3 20VI. Calcule3∬𝑥𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦,𝐷2 2onde𝐷é a região deℝdo primeiro quadrante limitada por𝑦 = 1 − 𝑥.1Resposta:.48VII. Calcule2𝑥∬ 𝑒 𝑑𝑥𝑑𝑦,𝐷2onde𝐷é a região deℝdo primeiro quadrante limitada por𝑦 = 𝑥e𝑥 = 1.𝑒−1Resposta:.2VIII. Calcule2) 𝑑𝑥𝑑𝑦∬cos(𝑥,𝐷2onde𝐷é a região deℝdo primeiro quadrante limitada por𝑦 = 𝑥e𝑥 = 1.sin(1)Resposta:.2IX. Inverta a ordem de integração e depois calcule o integral1 7√𝑦2a) 𝑥 + 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦; Resposta:.∫ ∫0 𝑦 602 6−𝑥b) cos(𝑥) + 𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥.∫ ∫0 2𝑥Ficha de Exercícios nº1 Cálc. Dif. e Integral III Prof. Doutor Euclides Luís, Ph.D.Veteraano3X. Calcule1 𝑑𝑥𝑑𝑦,∬𝑅onde𝑅 é dado, em coordenadas polares, por𝜋 𝜃𝑅 = {(𝑟, 𝜃): 0 ≤ 𝜃 ≤, 0 ≤ 𝑟 ≤ 𝑒.}21 𝜋(𝑒Resposta: − 1).4XI. Calcule1 𝑑𝑥𝑑𝑦,∬𝑅onde𝑅 é dado, em coordenadas polares, por𝜋 𝜋𝑅 = {(𝑟, 𝜃): − ≤ 𝜃 ≤, 0 ≤ 𝑟 ≤ 1 − 𝜃}.4 43𝜋𝜋Resposta: +.34 4 ∙3XII. Calcule2(3𝑥 + 4𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦,∬𝑅onde 𝑅 é a região do semi-plano superior limitada pelas circunferências15𝜋2222𝑥 + 𝑦 = 1e𝑥 + 𝑦 = 4. Resposta:.2XIII. Determine o volume do sólido limitado pelo plano 𝑧 = 0 e pelo𝜋22parabolóide𝑧 = 1 − 𝑥 − 𝑦. Resposta:.2Ficha de Exercícios nº1 Cálc. Dif. e Integral III Prof. Doutor Euclides Luís, Ph.D.Veteraano
4Integrais TriplosI. Calcule2∭𝑥𝑦𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝐵3em que𝐵 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ: 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, −1 ≤ 𝑦 ≤ 2, 0 ≤ 𝑧 ≤ 3}.II. Calcule∭ 2𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝐸3onde𝐸 ⊂ ℝ é dado em coordenadas cartesianas por3 2𝐸 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ: −1 ≤ 𝑥 ≤ 1, 0 ≤ 𝑦 ≤ 1 − 𝑥, 0 ≤ 𝑧 ≤ 2 − 𝑦}.2 2III. Calcule a massa do sólido limitado pelo paraboloide𝑧 = 𝑥+ 𝑦 e peloplano 𝑧 = 4, sendo a densidade em cada ponto do sólido dada por2 2𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧) = √𝑥+ 𝑦.IV. Determine o volume da região 𝑇 limitada pelos planos𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2,𝑥 = 2𝑦,𝑥 = 0e𝑧 = 0.V. Calcule∭ 6𝑥𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝐸em que 𝐸 é a região abaixo do plano 𝑧 = 1 + 𝑥 + 𝑦 e acima da região doplano𝑥𝑂𝑦limitada pelas curvas𝑦 = √𝑥,𝑦 = 0e𝑥 = 1.2 2VI. Calcule a massa do sólido limitado pelo paraboloide𝑦 = 𝑥+ 𝑧 e peloplano 𝑦 = 4, sendo a densidade em cada ponto do sólido dada por2 2𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧) = √𝑥+ 𝑧.Ficha de Exercícios nº1 Cálc. Dif. e Integral III Prof. Doutor Euclides Luís, Ph.D.Veteraano
5VII. Calcule∭ 2𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝐸3 2em que𝐸 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ: 0 ≤ 𝑦 ≤ 2, 0 ≤ 𝑥 ≤ √4 − 𝑦, 0 ≤ 𝑧 ≤ 𝑦}.VIII. Calcule2 𝑦∭𝑥𝑒 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝐸2em que𝐸é limitado por𝑧 = 1 − 𝑦 e os planos𝑧 = 0,𝑥 = 1e𝑥 = −1.IX. Calcule2 2√𝑥∭+𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧,𝐸3 2 2onde𝐸 ⊂ ℝé o sólido limitado pelo cilindro𝑥+ 𝑦 = 1, pelo plano𝑧 =2 24e pelo parabolóide𝑧 = 1 − 𝑥− 𝑦.X. Calcule2√4−𝑥2 22 2(𝑥)𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥∫∫∫+𝑦.2 2 2−2−√4−𝑥√𝑥+𝑦XI. Calcule∭ 3𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧,𝑅3onde𝑅 ⊂ ℝ é a região limitada por 𝑧 = 0 e pelo parabolóide 𝑧 = 1 −2 2𝑥− 𝑦.Ficha de Exercícios nº1 Cálc. Dif. e Integral III Prof. Doutor Euclides Luís, Ph.D.Veteraano
6XII. Calcule32 2 2 2(𝑥)+𝑦+𝑧𝑒 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧,∭𝐵3 2 2 2onde𝐵 ⊂ ℝé a esfera unitária𝑥+ 𝑦+ 𝑧 ≤ 1.XIII. Use as coordenadas esféricas para determinar o volume do sólido que222fica acima do cone𝑧 = √𝑥+ 𝑦e abaixo da superfície esférica𝑥 +2 2𝑦+ 𝑧 = 𝑧.XIV. Calcule1 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧,∭𝑅3 2 2 2onde𝑅 ⊂ ℝé a região limitada por𝑧 = 0e𝑥+ 𝑦+ 𝑧 = 1em que𝑧 ≥0.Elaborada por:Professor Doutor Euclides A. Luís, Ph.D.23/10/2024Ficha de Exercícios nº1 Cálc. Dif. e Integral III Prof. Doutor Euclides Luís, Ph.D.Veteraano