2.ª Prova Parcelar de Cálculo Diferencial e integral I, do curso de Engenharia Civil no Instituto Superior Politécnico de Tecnologias e Ciências (ISPTEC), 2018. Docente: Prof. José Maria Samuco.
Enunciado da 2.ª prova parcelar, de 24/05/2018, com proposta de resolução e critérios de classificação. Tem 5 questões: segunda derivada e concavidades de (2x+2)eˣ, continuidade e assíntota oblíqua de uma função por ramos, diferenciação logarítmica e limite de (cos x)^(1/x), derivada pela definição de ln(x+1) e recta tangente por derivação implícita.
a2. Prova ParcelarDisciplina Cálculo Diferencial e Integral I Duração: 120 minutosCurso Licenciatura em Engenharia Civil Data: 24/05/2018Docente José Maria Samuco Turma: ECV1 M1oNome do alunoN.:• Responda com uma esferográfica de tinta indelével (que não se pode apagar), de cor preta ou azul.• Não é permitido o uso de calculadora nem de corrector.• Identifique as suas respostas com o número apresentado no enunciado. As respostas não identificadas nãoserão classificadas.• Na resposta a cada questão proposta, apresente todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificaçõesnecessárias.x1.Considere a funçãof, de domínioR, definida porf(x) = (2x+ 2)e.′′ x1.1(2,5 valores) Mostre quef(x) = (2x+ 6)e.Proposta de resolução e critério de classificação:′ ′ x x ′ x x xf(x) = (2x+ 2)e+ (2x+ 2)(e)= 2e+ (2x+ 2)e= (2x+ 4)e′′ ′ x x ′ x x xf(x) = (2x+ 4)e+ (2x+ 4)(e)= 2e+ (2x+ 4)e= (2x+ 6)e′Calcularf(x)....................................................................... 1′′Calcularf(x)....................................................................... 1′′ xObterf(x) = (2x+ 6)e.......................................................... 0,5
1.2 (2,5 valores) Estude a função f quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quantoa existència de pontos de inflexão.Proposta de resolução e critério de classificação:′′ x xf(x) = 0⇐⇒(2x+ 6)e= 0⇐⇒2x+ 6 = 0∨e = 0 ⇐⇒ 2x+ 6 = 0 ⇐⇒ x = −3x –∞ –3 +∞f´ – 0 +f P.I. O gráfico da função f tem concavidade voltada para baixo no intervalo ]− ∞,−3[e concavidade voltada para cima no intervalo ] − 3,+∞[, sendo que o ponto de−3coordenadas (−3, f(−3)) (comf(−3) =−4e) é ponto de inflexão.′′Calcular o zero def.............................................................. 0,5′′Estudar o sinal def.............................................................. 0,6Indicar os intervalos de concavidade de f............................................ 1Indicar o ponto de inflexão de f................................................... 0,42. Considere a função g, de domínio R, definida por 2arctgxse x > 0xg(x) = 0 se x = 02x se x < 0x+ 12.1 (2,5 valores) Verifique se g é contínua no ponto de abcissa 0.Proposta de resolução e critério de classificação:g(0) = 02x 0lim g(x) = lim = = 0− −x→0x→0 x+ 1 0 + 12x2 ′2 4 2×0(arctgx)arctgx1 +x= lim= lim = = 0limg(x) = lim′+ +++x→0x→0x→0x→0x(x) 1 1 + 0Como lim g(x) = lim g(x) = 0, conclui-se que limg(x) = 0. Logo, limg(x) =− + x→0 x→0x→0x→0g(0), pelo que g é contínua em x = 0.Calcular g(0)...................................................................... 0,1Calcular lim g(x)................................................................. 0,2−x→0Calcular lim g(x)................................................................. 1,4+x→0Concluir que limg(x) = 0......................................................... 0,4x→0Justificar que g é contínua em x = 0............................................... 0,4
2.2 (2,5 valores) Determine uma equação da assíntota oblíqua do gráfico deg a esquerda (quandox → −∞).Proposta de resolução e critério de classificação:2x2 2g(x)xxx+ 1m=lim=lim = lim = lim = lim 1 = 12 2x→−∞x→−∞x→−∞x→−∞ x→−∞xxx+xx2 −x −xx−x = lim = lim =b=lim(g(x)−mx) =limx→−∞ x→−∞x→−∞x→−∞x+ 1x+ 1 x= lim (−1) = −1x→−∞Uma equação da assíntota oblíqua do gráfico de g é y = x−1.g(x)= 1........................................................ 1,1Obterm=limx→−∞ xObter b = lim (g(x)−x) = −1................................................... 1,1x→−∞Concluir que a recta de equação y = x−1 é assíntota oblíqua do gráfico de g..... 0,3
] [π1x3.Considere a funçãohdefinida, em0,, porh(x) = (cosx).21()()xln(cosx) +xtgx cosx′3.1(2 valores) Usando diferenciação logarítmica, mostre queh(x) = −.2xProposta de resolução e critério de classificação:ln(cosx) ln(cosx)1′xComo lnh(x) = ln(cosx) ⇐⇒ lnh(x) =, então (lnh(x)) =.x xDe onde resulta sucessivamente o seguinte:′ ′ ′h(x)(ln(cosx))x−(x)ln(cosx)2h(x) x−xsenx−ln(cosx)′h(x)cosx=,1 2xx(cosx)1()()xxtgx+ ln(cosx) cosx′h(x) =−2xln(cosx).......................................................... 0,4Obter lnh(x) =x′ ′ ′h(x)(ln(cosx))x−(x)ln(cosx)Escrever =...................................... 0,62h(x) x−xsenx−ln(cosx)′h(x)cosxEscrever=.......................................... 0,81 2xx(cosx)1()()xxtgx+ ln(cosx) cosx′Concluir queh(x) = −................................ 0,22x
3.2 (3 valores) Calcule lim h(x).+x→0Proposta de resolução e critério de classificação:1 ln(cosx)1xln(cosx)x xlimh(x) = lim(cosx)= lime= lime =+ + + +x→0x→0x→0x→0′(ln(cosx))ln(cosx) −senxlim+lim lim lim (−tgx) 0′+++x→0(x)x→0x→0x→0x cosx=e=e=e = e = e = 1ln(cosx)x...................................................... 1Obterlimh(x) = lime+ +x→0x→0ln(cosx)Levantar a indeterminação para calcular lim............................ 1,6+x→0 xObter lim h(x) = 1.............................................................. 0,4+x→04. (2,5 valores) Seja p a função, de domínio ]−1,+∞[, definida por p(x) = ln(x+ 1).′Calculep(2), recorrendo à definição de derivada de uma função num ponto.Proposta de resolução e critério de classificação:1()ln(x+ 1)−ln 3ln(x+ 1)−ln 3p(x)−p(2) x+ 1′ = lim = lim = lim =p(2) = lim′x→2x→2 x→2x→2x−2x−2(x−2) 11 12 + 1 3p(x)−p(2)′Escrever p(2) = lim........................................................ 0,4x→2 x−2ln(x+ 1)−ln 3′Escrever p(2) = lim.................................................... 0,2x→2 x−2Levantar a inderminação............................................................... 1,51′Obter p(2) =....................................................................... 0,43
3 35.(2,5 valores) Considere a equaçãox+y = 6xy.Sabe-se que a equação dada define:– uma curva que contém o ponto P de coordenadas (3,3);– implicitamente y como função de x.Determine a equação reduzida da recta tangente à curva no ponto P.Proposta de resolução e critério de classificação:3 3Derivando os dois membros da equaçãox+y = 6xy em ordem a x, obtém-se sucessi-vamente3 3 ′ ′(x +y) = (6xy),2 2 ′ ′3x + 3y y = 6y + 6xy,2 ′ ′ 23y y −6xy = 6y −3x,2 ′ 2(3y −6x)y = 6y −3x,26y−3x.y=23y −6x6×3−3×9′Para x = 3 e y = 3, obtém-se y = = −1, que é o declive da recta tangente3×9−6×3a curva no pontoP.Uma equação da recta tangente à curva no ponto P éy−3 = −1(x−3), que é equivalentea equação reduzida y = −x+ 6.26y−3x′................................................................... 1,3Obtery=23y −6xObter o declive da recta tangente à curva no ponto P.................................. 0,6Escrever y −3 = −1(x−3)............................................................ 0,4Obter y = −x+ 6...................................................................... 0,2FIM