Lista de Exercícios de Cálculo Diferencial e integral I - Integração definida
Lista de Exercícios de Cálculo Diferencial e integral I, do curso de Engenharia Informática no Instituto Superior Politécnico de Tecnologias e Ciências (ISPTEC), 2024.
Primeiras linhas de Lista de Exercícios de Cálculo Diferencial e integral I - Integração definida
Cálculo Diferencial e Integral II Ficha de Exercícios n.º 1 Integral De nido 2.º Semestre, 2023/2024 ′1.CalculeF(x), sabendo que: Z ZZx x 2x3t 2−t 21.1F(x) =dt 1.10 F(x) = (x−t)e dtcos(t)dt1.5F(x) = 6t + 1 −2 00 Z 3x Z 1 Zx 2x 1.6 F(x) = dt2 2 41.2F(x) =sen(t)dtt + 5 1.11 F(x) = cos(t)dt 2x Z2 x senx 23−s 1.7 F(x) = x e dsZ Z 2 sent 1 14Z x1.3F(x) =cos(t)dt dx1.12F(t) = 2 42−s x + 1x21.8F(x) =xedst 0 Z ZZ2x senx1 2…
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- Tipo
- Lista de Exercícios
- Cadeira
- Cálculo Diferencial e integral I
- Curso
- Engenharia Informática
- Universidade
- Instituto Superior Politécnico de Tecnologias e Ciências
- Ano
- 2024
- Ficheiro
- PDF, 12 páginas
- Desbloqueado
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ISPTEC Cálculo Diferencial e Integral II/Integral De nido5. As regiões sombreadas seguintes são limitadas pelas curvas indicadas. Para cada região, calculea área por projecção sobre o eixo das abcissas.Veteraano 3 de 12
ISPTEC Cálculo Diferencial e Integral II/Integral De nido6. Calcule a área das regiões sombreadas por projecção sobre o eixo das ordenadas.1 27. Considere a função f de nida, em R, por f(x) = 1− x. Calcule a área da região limitada pelo4grá co de f, o eixo Ox e as retas de equações x = −4 e x = 2.9 18. Considere reta de equação y = −x + e a curva y =, com x > 2. Seja D a região2 x−2compreendida entre a recta e a curva. Determine a área de D.9. Considere a região R limitada pelo eixo Ox, pelo grá co da função de nida por y = x e pelarecta de equação x = 4. Determine a área de R.10. Determine a área da região limitada pelas curvas dadas.2 210.1y= 2xex = 2y 10.7 y = senx e y = −senx, x ∈ [0,2π]−x210.8y=e, y = x+ 1 e x = −110.2y= 5−xey=x+ 32 2210.9y= 4−xex −1410.3y = 1−x e y = −32x10.10x=y + 1 e x+y = 710.4 y = e, x = 0, x = 1 e y = 0π10.11 y = arcsenx, y = e x = 0310.5x=yex=y2x210.12 x = y e y = −10.6y= lnx,y= 0ex= 42Veteraano 4 de 12
ISPTEC Cálculo Diferencial e Integral II/Integral De nido11. Determine o volume do sólido de revolução gerado por rotação da região R em torno do eixoOx.Veteraano 5 de 12
ISPTEC Cálculo Diferencial e Integral II/Integral De nido12. Determine o volume do sólido de revolução gerado por rotação da região R em torno do eixoOy.13. Recorrendo ao integral de nido, calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação,em torno do eixo indicado, da região R limitada por:13.1 y = 2x, x = 3 e y = 0 (rotação em torno do eixo Ox);Nota: Veri que o resultado usando a fórmula do volume do cone.13.2 y = sinx, x = 0, x = π e y = 0 ( rotação em torno do eixo Ox);313.3y=x, x = 2 e y = 0 ( rotação em torno do eixo Oy);p24−y e x = 0 (rotação em torno do eixo Oy).13.4x=Nota: Veri que o resultado usando a fórmula do volume da esfera.14. Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação das regiões indicadas, em redordos eixos dados.14.1 Região limitada por: y = 2x−1, y = 0, x = 0 e x = 4Eixo de rotação: eixo Ox214.2Região limitada por:y = 2x, y = 0, x = 0 e y = 2Eixo de rotação: eixo Oy214.3Região limitada por:y= 2x, y = 2, x = 1 e x = 2Eixo de rotação: recta de equação y = 22 214.4Região limitada por:x=y,x= 2−yEixo de rotação: eixo Oy2 214.5Região limitada por:y=x+x,y=x −1 e x = 0Eixo de rotação: recta de equação y = 13 214.6 Região limitada por: y = x e y = 4Eixo de rotação: recta de equação x = −9Veteraano 6 de 12
ISPTEC Cálculo Diferencial e Integral II/Integral De nido214.7Região limitada por:y = 16x e y = 4xEixo de rotação: eixo Ox214.8Região limitada por:y= 1−x, x = −2,x = 2 e y = 2Eixo de rotação: recta de equação y = 2214.9Região limitada por:y=x + 3, x = −2,x = 2 e y = 2Eixo de rotação: recta de equação y = 214.10 Região limitada por: y = cosx, y = −2,x = 0 e x = 2πEixo de rotação: recta de equação y = −215. Determine o comprimento do arco L da curva:√ 1 13 215.1f(x) =xdex= 0atéx= 5;15.4y = x − lnx de x = 1 até x = e;2 43 215.2y= 8x de x = 1 até x = 8;π π4 15.5 f(x) = ln(cosx) de x = até x =.15.36xy=x+ 3dex= 1atéx= 2;6 4DEFINIÇÃO (Massa de um objecto unidimensional)Suponha que uma barra na é representada por um segmento de recta no intervalo [a, b],com função densidade ρ (em unidade de massa por unidade de comprimento). A massa doZbρ(x)dx.objecto ém=a16. Uma barra na é feita de uma liga cuja densidade, em Kg/m é dada por ρ(x). Determina amassa da barra, sabendo que:216.1ρ(x) = 1 + sinx,0≤x≤π16.3ρ(x) =x2−x, 0 ≤ x ≤ 1x216.2ρ(x) = 2−,0≤x≤216.4ρ(x) = 1 +x, 0 ≤ x ≤ 22DEFINIÇÃO (Trabalho de uma força variável)O trabalho realizado por uma força F variável para mover um objecto, ao longo de uma rectaZbde x = a até x = b, na direcção da força é W = F(x)dx.a17. Um objecto é movido de uma posição x = 0 para outra x = 3 (em metros), por uma forçaF(x) = 2x (em Newton), que actua na direção do eixo x. Qual é o trabalho realizado pela força?18. Um objecto é movido de uma posição x = 1 para outra x = 3 (em metros), por uma força2F(x) = (em Newton), que actua na direção do eixo x. Qual é o trabalho realizado pela força?2x19. Determine o trabalho realizado por uma força dada por F(x) = 100x (em Newton), para esticaruma mola x = 0,25metros da sua posição de equilíbrio.Veteraano 7 de 12
ISPTEC Cálculo Diferencial e Integral II/Integral De nidoSoluções1.Z x3x 2 2−s2−x1.1 e ds+x e1.82x6x + 1021.2sen(x)31.9−arctg(x)4 Z1.3−cos(x)x2−te dt1.1041.42xsen(x)02 2 21.52 cos(4x)1.112 cos(4x)−cos(sen x) cosx2 2x3xcost 2t−1.612 8 1.12 −x+ 5x+ 54 8Z1 + sentt + 1x2 2−s3−x2e ds+x e1.73x 2 21.13cosxtg(senx) + senxtg(cosx)12.1 12.1 2.42 22.5 12.2 2 12.6312.3 − 2.7 Não existe2π3.π33π−2 43.123.13.7 3.18 ln1622 32π 31 +eππ3.19 2π −12π3.133.2+ ln 23.854 6 3.20 021e−1 3.143.3e−13.9ln7e2 3.21e−123.1513.4ππ −2 π + 21443.101 3.223.1623.5 454 1 1 4 73 213.11 3.17 ln 3.23 − + 3 ln 3.612 5 3 12 54.2 −21716arctan(e)−arctan(e)4.1 + ln 4.4 1 +3 81 2√ 1 2e−14−π −3 3 4.5 log24.22 2e −196 1 2π√4.6ln4.32 −1 + 36Veteraano 8 de 12
ISPTEC Cálculo Diferencial e Integral II/Integral De nido6− 3π 4.16 −1 + 2,5 arctg(0,5)4.76 255π 4.17+ arctan 24.8− 40964!√81 + 34.9√4.18ln3244.10 − 441√551261 4.19 64 16−234.11 − 126169 634.122e−2e4.20 − + 25 ln2 5√√6 64.13 6 3−6 2 √ √2ln 24.21 2 + 34.14π! 2√1 + 311√4.15ln+ ln 34.22−2 + 236 4295.(a)62(e)2− (g)e −1(c)2 √1 8π + 3 53 5 1(b) (d) (f) (h) −2 6 2 2 ln 281 28 519(b) (c) (d)6.(a)6 2 3 1216 15 167. 8. −ln 4 9.3 8 310.4 2e−310.4e−1 10.11 110.1 10.83 21 410.5 10.1292 310.210.9722 10.6 −3 + 8 ln 232 12510.3 10.1010.783 624π 5ππ11. (a) (e)(c)3 6415π 32π(b) (d) (f) 48π32 3π 412. (a) 54π (b) (e −1)213.2 64π 32ππ13.1 36π 13.3 13.413.25 3214.Veteraano 9 de 12
ISPTEC Cálculo Diferencial e Integral II/Integral De nido172π 152π 3π 8π 412π14.1 14.3 14.5 14.7 14.93 15 2 3 158π 16π 2304π 412π214.214.414.614.814.109π5 3 5 1515.17335 3 + 3 6615.315.1 √15.5ln27 12√ 9 2104 13−125 1 1215.2 15.4 e −27 2 416.1422−116.1(π+ 2)Kg16.23Kg16.4 Kg16.3Kg33417.9Joule 19. 3,125 Joule18. Joule3Referências[1] Diva Flemming e Mirian Gonçalves. Cálculo A, 6.ª Edição. Pearson. São Paulo, 2006.[2] João Paulo Santos. Cálculo Numa Variável Real. IST Press. Lisboa, 2012.[3] Ana Castro, Ana Viamonte e António Sousa. Cálculo I - Conceitos Exercícios e Aplicações.Publindústria, Edições Técnicas. Porto, 2013.[4] William Briggs, Lyle Cochran e Bernard Gillett. Calculus for Scientists and Engineers. PearsonEducation, 2013[5] Ana Alves de Sá e Bento Louro. Cálculo Diferencial e Integral em R Exercícios Resolvidos.Volume 3. Matcubo, Lda. Lisboa, 2016.Veteraano 10 de 12
ISPTEC Cálculo Diferencial e Integral II/Integral De nidoTabela de derivadasSejam a e n constantes reais e u e v funções de x.′1.a = 0′2.x = 1n ′ ′ n−13.(u)=nuu, n ∈ Ru ′ ′ u +4.(a)=ualna, a∈R \ {1}v ′ ′ v−1 ′ v5.(u)=uvu+vulnu′u+′, a∈R \ {1}6.(logu)=aulna′ ′ ′7.(u+v)=u+v′ ′ ′8.(uv)=uv+uv ′ ′′uuv−uv9. =2vv′ ′10.(senu)=ucosu′ ′11.(cosu)=−usenu′ ′ 212.(tgu)=usecu′ ′ 213.(cotgu)=−ucosecu′ ′14.(secu)=usecutgu′ ′15.(cosecu)=−ucosecucotgu′u′16.(arctgu) =21 +u′u′17.(arccotgu) = −21 +u′u′ √18.(arcsenu)=21−u′u′ √19.(arccosu)=−21−u′u′ √20.(arcsecu)=, |u| > 12|u|u −1′−u′ √21.(arccosecu)=, |u| > 12|u|u −1Veteraano 11 de 12
ISPTEC Cálculo Diferencial e Integral II/Integral De nidoTabela de integrais imediatosSejam u e v funções de x e C ∈ R.Z1. 0dx = CZ2. dx = x+CZ n+1u′n+C, n ∈ R∧n ̸= −13.uudx=n+ 1Z ua′u +4. ua dx = +C, a ∈ R \ {1}lnaZ′ u u5. ue dx = e +CZ ′u6. dx = ln|u|+CuZ7. u senudx = −cosu+CZ8. u cosudx = senu+CZ′ 29. u sec udx = tgu+CZ′ 210. u cosec udx = −cotgu+CZ11. u secutgudx = secu+CZu cosecucotgudx = −cosecu+C12.Z ′u13. dx = arctgu+C21 +uZ ′u√14. dx = arcsenu+C21−uZ ′u√15. dx = arcsecu+C2uu −1Z16. u secudx = ln|secu+ tgu|+CZ17. u cosecudx = −ln|cosecu+ cotgu|+CVeteraano 12 de 12