Ficha de Exercícios n.º 2 de Cálculo Diferencial e Integral II: Limite e Continuidade de Funções de Várias Variáveis · ISPTEC · 2021

Lista de Exercícios de Cálculo Diferencial e Integral II, do curso de Engenharia Mecânica no Instituto Superior Politécnico de Tecnologias e Ciências (ISPTEC), 2021.

Ficha com 9 grupos de exercícios sobre limites e continuidade de funções reais de várias variáveis reais. Inclui exercícios de determinação de domínios, curvas de nível, cálculo de limites por diversas técnicas, provas de não existência de limites, estudo de continuidade e questões teóricas. Contém resoluções de alguns exercícios nas páginas finais.

Tipo

Lista de Exercícios

Cadeira

Cálculo Diferencial e Integral II

Curso

Engenharia Mecânica

Universidade

Instituto Superior Politécnico de Tecnologias e Ciências

Ano

2021

Ficheiro

PDF, 12 páginas

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Cálculo Diferencial e Integral IIoFicha de Exercícios n. 2Limite e continuidadede funções reais de várias variáveis reaisoAno lectivo 2021/2. Semestre21.Determine e represente geometricamente o domínio da funçãof:D⊆R −→ R definida por:2 2 2 24−x −y1.1f(x, y) = log(x+y−1)−2√ xeln(x+y)1.2f(x, y) =1.10 f(x, y) =()2 2x+yx1.3 f(x, y) = arcsin2 221.11f(x, y) = ln(1−x−y)tanx √1.4 f(x, y) = 2 22 2 2 2x+y1.12f(x, y) =x+y −1 + ln(4−x −y)x x1.5 f(x, y) =2 2 1.13 f(x, y) =x−y2y −4x√2 2 √ √4−x−y2 2 2 21.6f(x, y) =1.14f(x, y) =x−y+x+y −1x−y21.7f(x, y) = arccos(3y)21.15f(x, y) =y−1 + ln(x −4x+ 3)arccos(y) 1 11.8 f(x, y) = √√1.16f(x, y) =+arcsin(x+y) x+y x−ycos(y + 1) + sin(2y) √1.9 f(x, y) = 2 21.17f(x, y) =x+y −2xyarctan(x)22.Determine e interprete geometricamente as curvas de nível da funçãof:D⊆R −→ R.2 22.1 f(x, y) = 3x+ 2y 2.5 f(x, y) = x −y2 22.2 f(x, y) = 2x + 2y2 22.6 f(x, y) = 2y −2x2 22.3 f(x, y) = 2x + 6y2 2 2 22.4 f(x, y) = 4x + 2y 2.7 f(x, y) = 4y −y −x

Página 23. Calcule os seguintes limites:2 2xx+y23.1 lim 2xy +x − 3.10 limlnx→1 x→4y x−y + 1y→2 y→2()x+y−2+xy y3.2lim3.11lime−e + 12 2x→2 x→1x+yy→−1 y→2()√x−12 23.3limx3.12limx+y2 2x→0xy +xy −1x→0y→0y→02 ()3.4limx+ 1− xy3 3 2x→0 3.13 lim x y + 2xy +yy→0 x→−1() y→21 ()3.5 lim −10 2 2x→+∞ 3.14 lim 3x y + 2xy −2xyx+yy→+∞ x→1y→22 2x+y −xy + 73.6 lim 23 3 xy −5x+ 8x→0x+y−73.15 limy→12 2x→−2x+y + 4xy2 2 y→13.7 limln(x +y + 10)x→1y→1 2 2y + 3xy13.16 limx+y2 23.8limex→0x+yx→+∞ y→1y→+∞sen(x+y) xy −13.9 lim 3.17 limlnx→π x→1x 2xy + 4πy→y→224. Calcule os seguintes limites:√222xy x y4.1 lim √4.9lim2 2 2 2x→0(x,y)→(0,0)x+yx+yy→02xy2 2√4.2limxy−3x −4xy + 12x+ 4y −122 2(x,y)→(0,0) 4.10 limx+yx→2 xy −3x−2y + 6y→325xy √ √4.3 lim2 2 y x−2y − x+ 2(x,y)→(0,0)2x+ 2y4.11 lim √ √x→4 4−x+x y −4 y33y→14x−2xy4.4 lim √2 2 √(x,y)→(0,2)x+ (y−2)x+ 3− 34.12 lim23x y x→0 xy +xy→04.5lim2 2(x,y)→(0,0)2x+ 2y3 xy −1xy 4.13 lim √√4.6lim x→1 xy −12 2(x,y)→(0,0) y→1x+y√ ysenxxy x+y 4.14 lim4.7 lim x→0 xy + 2x2 2x→0x+yy→1y→0√ 1 +xy2 3 3xy+y−xyx4.8lim4.15lim(1 +x)2 2x→0 x→0x+yy→0 y→2

Página 3xy x+ye−11−e +x+y4.16 lim 4.18 lim2x→0xy(x,y)→(0,0)(x+y)y→02 2x+y1−cos(x+y −1)√4.17lim√4.19lim2 2(x,y)→(0,0)−1 +x+y + 1 (x,y)→(0,0) −1 + x+y −15. Mostre que os seguintes limites não existem:2 22x−3yxy√5.1lim 5.10 lim2 2 622(x,y)→(0,0)(x,y)→(0,0)xy+ (x−y)x+y2x2x+ 3y5.2lim5.11 lim22(x,y)→(0,0) x +y (x,y)→(0,0) 3x+ 2y2 2sin(x+y)3x5.3lim2 2 5.12 lim(x,y)→(0,0)x+ 3y(x,y)→(0,0) x+y2 4xy5.4 lim xy2 4 3(x,y)→(0,0)(x+y) 5.13 lim2 2(x,y)→(0,0)x+y2−2x + 3y5.5 lim 22 2 xy(x,y)→(0,0)x+y5.14 lim2 4(x,y)→(0,0)x+y−3x+y5.6 lim(x,y)→(0,0) x+y 22xy2 2 5.15 limx−y4 2(x,y)→(0,0)x−3y5.7 lim2 2(x,y)→(0,0)x+y2x+ 3y −5x+y5.16 lim5.8lim(x,y)→(1,1) x+y −2(x,y)→(0,0) 5x−yx+y −2 x+ 2y + 15.9 lim 5.17 lim(x,y)→(1,1) (x,y)→(1,−1)5x−y−4 x+y6. Estude a continuidade das seguintes funções: 2 3xy2x y  √ se (x, y) 6= (0,0)se (x, y) 6= (0,0)4 2 2 2x+yx+y6.1f(x, y) =6.6f(x, y) =0 se (x, y) = (0,0) 0 se (x, y) = (0,0) 22x y se (x, y) 6= (0,0) 2 22 2 sin(x +y)x+y6.2f(x, y) =se (x, y) 6= (0,0)2 2x+y6.7f(x, y) =0se(x, y) = (0,0)0 se (x, y) = (0,0)32xy se (x, y) 6= (0,0)6 2x+y6.3f(x, y) = 2xy0 se (x, y) = (0,0)  √ se (x, y) 6= (0,0)2 26.8f(x, y) =x+y22x y se(x, y)6= (0,0) 0 se (x, y) = (0,0)2 2x+y6.4f(x, y) =1 se (x, y) = (0,0) 22xy −22x+ 2y  √ se (x, y) 6= (1,1)se (x, y) 6= (0,0) 2 22 2 6.9 f(x, y) = x +y + 1x+y6.5f(x, y) =1 se (x, y) = (1,1)0se(x, y) = (0,0)

Página 4 33x yxyse (x, y) 6= (0,0) se (x, y) 6= (0,0)2 2 6 2x+yx−y6.12f(x, y) =6.10f(x, y) =0 se (x, y) = (0,0) 0 se (x, y) = (0,0) 22x −y xy −1se (x, y) 6= (0,0) se (x, y) 6= (1,1)2 2x−yx+y −26.11f(x, y) =6.13f(x, y) =0 se (x, y) = (0,0) 0 se (x, y) = (1,1)27.Considere a funçãof:R −→ R.Diga, justificando, se cada uma das seguintes afirmações é verdadeira ou falsa.7.1 Se f(0,0) = 1 e lim limf(x, y) = 0, então f é descontínua em (0,0).x→0y→07.2 Se f(0,0) = 0 e lim limf(x, y) = 0, então f é contínua em (0,0).x→0y→037.3Sef(0,0) = 1 ef(x, x) = 0,∀x ∈ R\ {0}, então f é descontínua em (0,0).27.4Sefé contínua em (0,0) ef(x, x) = 2x+ 1,∀x ∈ R\ {0}, então lim limf(x, y) = 0.x→0y→02 27.5Sef(x, x) =x+ 1,∀x∈Ref(x, x−x) = x−1,∀x ∈ R, então f é descontínua em (0,0).27.6Sef(x, x) = 3x+ 1,∀x ∈ R e lim limf(x, y) = 0, então f é descontínua em (0,0).x→0y→08. Calcule o valor de a para que a função dada seja contínua em (0,0).122(x +y) sen se (x, y) 6= (0,0)2 2x+y8.1f(x, y) =a se (x, y) = (0,0) 2 2x y√ se (x, y) 6= (0,0)28.2f(x, y) =x + 1−1a−4 se (x, y) = (0,0)9. Determine o maior conjunto no qual a função é contínua.xy9.1 f(x, y) =x−y1 +e2 21 +x+y9.2 f(x, y) =2 21−x−yx ye+e9.3 f(x, y) =xye −12 29.4f(x, y) = ln(x+y −4)2 2 29.5f(x, y, z) = arcsen(x+y+z) 2 3x yse (x, y) 6= (0,0)2 22x+y9.6f(x, y) =1 se (x, y) = (0,0)

Página 5Soluções1.2 2 2 2 21.1 D = (x, y) ∈ R: x +y > 1∧x +y ≤ 4yxO21-2-121.2 D = (x, y) ∈ R: y ≥ 1−xy1x1O21.3 D = (x, y) ∈ R: −2 ≤ x ≤ 2yx-22O

Página 6{ }π21.4 D = (x, y) ∈ R: (x 6= 0∧y 6= 0)∧x 6= +kπ, k ∈ Z2y-2.5π -1.5π -0.5π x0.5π1.5π2.5πO21.5 D = (x, y) ∈ R: y 6= x∧y 6= −xyxO2 2 21.6 D = (x, y) ∈ R: y 6= x∧x +y ≤ 4yO x-22

Página 71 121.7 D = (x, y) ∈ R: − ≤ y ≤3 3yxO21.8 D = (x, y) ∈ R: −1 ≤ y ≤ 1∧ −1 ≤ x+y ≤ 1∧y 6= −xy1xO-11-121.9 D = (x, y) ∈ R: x 6= 0yxO

Página 821.10 D = R \ {(0,0)}yxO2 2 21.11 D = (x, y) ∈ R: x +y < 1}y1xO1-1-12 2 21.12 D = (x, y) ∈ R: 1 ≤ x +y < 4}yxO21-2-1

Página 9}{12 21.13 D = (x, y) ∈ R: x 6= y4yxO2 2 21.14 D = (x, y) ∈ R: ((y ≤ x∧y ≥ −x)∨(y ≥ x∧y ≤ −x))∧x +y ≥ 1yxO21.15 D = (x, y) ∈ R: (y ≤ −1∨y ≥ 1)∧(x > 3∨x < 1)y1x13O-1

Página 1021.16 D = (x, y) ∈ R: y > −x∧y < xyxO21.17 D = RyxO2.3 k 3 k22.1 N = (x, y) ∈ R: y = − x+, k ∈ R (Recta de declive − e ordenada na origem)k2 2 2 2k2222.2 N = (x, y) ∈ R: x + y =, se k > 0 (Circunferência de centro na origem e raiok2√k2N = ∅, se k < 0 (Conjunto vazio)kN = (0,0) (Ponto de coordenadas (0,0))02.3 N = (0,0) (Ponto de coordenadas (0,0))0{}2 2xy2N = (x, y) ∈ R: + = 1, se k > 0 (Elipse centrada na origem e vérticeskk/2 k/6)()() ()(√√√√k k k k,0, V −,0, V 0, e V 0,−)V12342 2 6 6N = ∅, se k < 0 (Conjunto vazio)k2.4 N = (0,0) (Ponto de coordenadas (0,0))0{}2 2xy2N = (x, y) ∈ R: + = 1, se k > 0 (Elipse centrada na origem e vérticeskk/4 k/2

Página 11k k k k,0, V −,0, V 0, e V 0,−)V12344 4 2 2N = ∅, se k < 0 (Conjunto vazio)k22.5 N = (x, y) ∈ R: y = x ∨ y = −x (União das bissectrizes dos quadrantes pares e dos0quadrantes ímpares) }{22yx2− = 1, se k 6= 0 (Hiperbóle centrada na origem e vérticesN=(x, y)∈R:kk k√√ √ √V (− k,0), V ( k,0), se k > 0, ou V (0,− −k), V (0, −k), se k < 0)121222.6 N = (x, y) ∈ R: y = x ∨ y = −x (União das bissectrizes dos quadrantes pares e dos0quadrantes ímpares) }{22xy2− = 1, se k 6= 0 (Hiperbóle centrada na origem e vérticesN=(x, y)∈R:kk/2 k/2 ()(√) () ()√√√k k k kV − −,0, V −,0, se k < 0, ou V 0,−, V 0,, se k > 0)12122 2 2 22.7 N = N = (2,0)} (Ponto de coordenadas (2,0))−22N = ∅, se k < −2∨k > 2 (Conjunto vazio)k{}2 2 2 2N = (x, y) ∈ R: x + (y −2) = 4−k, se −2 < k < 2 (Circunferência de centro nok2ponto de coordenadas (0,2) e raio4−k)3.9 203.5−10 3.14 103.1 3.10 ln2 34163.6−1 3.15 −33.1113.2 − 33.7ln 1253.16 13.1203.313.8113.9 −3.41 3.13 −14 3.17 −ln 8π4.14.10 4.15 e4.604.112√ 4.16 14.204.7034.126 4.17 24.304.802 14.13 4.18 −4.40 4.9 0 3 21 14.14 4.194.504.1003 25.

Página 126.26.8Contínua emR6.1Descontínua no ponto (0,0)26.2Contínua emR6.9 Descontínua no ponto (0,0)6.3 Descontínua no ponto (0,0) 26.10 Contínua em R6.4 Descontínua no ponto (0,0)26.11Contínua emR6.5 Descontínua no ponto (0,0)2 6.12 Descontínua no ponto (0,0)6.6Contínua emR6.13 Descontínua no ponto (1,1)6.7Descontínua no ponto (0,0)7.7.1 Verdadeira 7.3 Verdadeira 7.5 Verdadeira7.2 Falsa 7.4 Falsa 7.6 Verdadeira8.8.1 a = 0 8.2 a = 49.2 2 2 29.1R9.4(x, y)∈R:x+y > 43 2 2 22229.5(x, y, z)∈R:x+y+z ≤ 19.2(x, y)∈R:x+y6= 1229.6(x, y)∈R: (x, y) 6= (0,0)9.3(x, y)∈R:x6= 0∧y6= 0Referênciasa[1] Diva Flemming e Mirian Gonçalves.Cálculo A, 6. Edição. Pearson. São Paulo, 2006.a[2] Diva Flemming e Mirian Gonçalves.Cálculo B, 2. Edição. Pearson. São Paulo, 2007.[3] Hamilton Luiz Guidorizzi. Um Curso de Cálculo., Vol. 2. Livros Técnico e Científicos Editora. Rio deJaneiro, 2014.[4] Ana Castro, Ana Viamonte e António Sousa.Cálculo I - Conceitos Exercícios e Aplicações. Publindústria,Edições Técnicas. Porto, 2013.[5] William Briggs, Lyle Cochran e Bernard Gillett. Calculus for Scientists and Engineers. Pearson Educa-tion, 2013.[6] James Stewart. Cálculo, Vol. 2. Cengage Learning. São Paulo, 2013.