2.ª Prova Parcelar de Cálculo Diferencial e Integral II · ISPTEC · 2018

2.ª Prova Parcelar de Cálculo Diferencial e Integral II, do curso de Engenharia Mecânica no Instituto Superior Politécnico de Tecnologias e Ciências (ISPTEC), 2018. Docente: Prof. José Maria Samuco.

Prova parcelar de Cálculo II com duração de 100 minutos, realizada em 31 de outubro de 2018. Contém 6 questões sobre limites de funções de duas variáveis, plano tangente, continuidade, derivadas parciais, regra da cadeia e diferenciabilidade, dirigidas a alunos de Engenharia Mecânica.

Tipo

2.ª Prova Parcelar

Cadeira

Cálculo Diferencial e Integral II

Curso

Engenharia Mecânica

Universidade

Instituto Superior Politécnico de Tecnologias e Ciências

Ano

2018

Docente

Prof. José Maria Samuco

Ficheiro

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a2. Prova ParcelarDisciplina Cálculo Diferencial e Integral II Duração: 100 minutosCurso Licenciatura em Engenharia Mecânica Data: 31/10/2018Docente José Maria Samuco Turma: EMC2 M1oNome do alunoN.:• Responda com uma esferográfica de tinta indelével (que não se pode apagar), de cor preta ou azul.• Não é permitido o uso de calculadora nem de corrector.• Identifique as suas respostas com o número apresentado no enunciado. As respostas não identificadas nãoserão classificadas.• Na resposta a cada questão proposta, apresente todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificaçõesnecessárias.• Simplifique todos os resultados.x+y1. (2,5 valores) Mostre que lim não existe.(x,y)→(0,0) 5x−y32.(2,5 valores) Sejamfa função definida porf(x, y) = 3xy − xy e P(1,−1,−2) um ponto dodomínio de f.Determine uma equação do plano tangente ao gráfico da função f, no ponto P. Apresente aequação na forma ax+by +cz +d = 0, com a, b, c, d ∈ R.3. Calcule os seguintes limites:√√ x+y1−e +x+yx+ 2− 23.2 (3 valores) lim3.1(3 valores)lim2(x,y)→(0,0)(x+y)(x,y)→(0,0) xy +x2 2 24.(3 valores) Sejaz=uv+u, comu=xyev=x+y + ln(xy). Determine a derivada parcial∂z, usando a regra da cadeia. Apresente o resultado em função de x e de y.∂y2 25.(3 valores) Sejafa função definida porf(x, y) = 2y−x. Usando a definição, verifique que fé diferenciável na origem.2 2 26.(3 valores) A equaçãox+z= 12 + 3y define implicitamente z como função de x e de y.∂z ∂zUsando a regra da derivada da função implícita, determine as derivadas parciais e.∂x ∂y