Lista de Exercícios de Álgebra Linear e Geometria Analítica: Capítulo 1, matrizes e sistemas (outra versão) · ISPTEC

Lista de Exercícios de Álgebra Linear e Geometria Analítica, do curso de Engenharia Mecânica no Instituto Superior Politécnico de Tecnologias e Ciências (ISPTEC), .

Lista de exercícios do Capítulo 1 sobre matrizes, determinantes e sistemas de equações lineares. Tem o mesmo conteúdo de "EXERCÍCIOS - CAP.01", noutra formatação. Não tem resolução.

Tipo

Lista de Exercícios

Cadeira

Álgebra Linear e Geometria Analítica

Curso

Engenharia Mecânica

Universidade

Instituto Superior Politécnico de Tecnologias e Ciências

Ficheiro

PDF, 13 páginas

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ÁLGEBRA LINEAR & GEOMETRIA ANALÍTICA 1EXERCÍCIOSCAP.1 – MATRIZES E SISTEMAS1.Construa as seguintes matrizes:a) A=(a), em que a =3i-3jij2x5ij2 3b) B=(b), em que b =i +jij2x3ijc) C=(c), em que c =i+jij3x3ij2.Dadas as matrizes A, B e C:Calcule:a) A+B; b) C- A; c) 3A-2B+4C; d)(A+B)C3.Calcule os valores de m e n para que as matrizes A e B sejam iguais:a) * + * +b) [ ] * +c) * + * +4.Dadas as matrizes A, B, C e D:Calcule:a) AB; b) (AB)D; c) A(BD); d)BA; e)(BA)C; f)B(AC)5.Dadas as matrizes A, B, C e D:Calcule:T T T T T T Ta) (AB); b) (AB)D; c) A(BD); d)B C; e) 2(A B)+3C6.Dadas as matrizes. Ache os valores de x e y para que*+*+[]T T Tse cumpra que: a)A=B.C; b)A =C.BO DOCENTE: WALDIK JAIME

ÁLGEBRA LINEAR & GEOMETRIA ANALÍTICA 27.Dadas as matrizes A, B e C:Calcule:Ta) det(A); b) det(B); c) det(C); d) det(A+B); e) det(A-B); f) det(2A-3B+4C); g)det(BC); h) det(AC);i) det((CB)A); j) det(C(BA)); k) det(B(CA))8.Resolver as seguintes equações dadas:a) b) c) d)e) f) g) h)i) j)9.Seja B=(b), onde:ij4x4Calcule det(B).10.Seja A uma matriz quadrada de ordem n≥2 com elementos:Calcule det(A) em função de n.-1 -111.Na igualdadelog [det(2A)]=log [det(2A) ], A é uma matriz de quinta ordem com determinante327não nulo. Calcule det(A).12.Dadas as matrizes A=(a), onde a =2i-3j, e B=(b), onde:ij2x2ijij2x22Calcule o determinante da matriz X=(B-A).13.M é uma matriz quadrada de ordem 3, e seu determinante é det(M)=2. Calcule o valor da expressão:det(M)+det(2M)+det(3M)214.Sendo A uma matriz de ordem 2, tal que a =i -j. Calcule det(A).ijO DOCENTE: WALDIK JAIME

ÁLGEBRA LINEAR & GEOMETRIA ANALÍTICA 315.Seja a matriz A=(a), tal que:ij3x3Calcule o valor de x para que det(A) seja -27.416.Calcule o determinante de uma matriz 3x3 inversível que satisfaz a condição A =2A.-117.Sejam A, B e C matrizes reais 3x3, tais que AB=C, B=2A e det(C)=8. Determine o valor de |det(A)|.18.Considere a matriz A=(a), definida por a =-1+2i+j, para 1≤ i ≤2, 1≤ j ≤ 2. Ache det(A).ij2x2ij19.Seja a matriz A=(a), tal que:ij3x3Ache det(A).20.As faces de um cubo foram enumeradas de 1 a 6, depois em cada face do cubo foi registrada umamatriz de ordem 2, com elementos definidos por:onde f é o valor associado à face correspondente. Qual o valor do determinante da matriz registrada naface 5?21.Seja A uma matriz quadrada de ordem 3 com det(A)=3 e det(k.A)=192. Determine o valor de k.22.Sejam A e B matrizes 3x3 tais que det(A)=3 e det(B)=4. Calcule det(Ax2B).23.Seja a matriz A=(a), de ordem 2, em que:ijQuantos números reais x, tais que satisfazem a condição det(A)=1/4.24.A matriz A é de quarta ordem, e seu determinante é -8. Ache o valor de x na equação det(2A)=2x-150.25.Sejam A e B matrizes reais quadradas de ordem n. Se det(A)=det(B)≠0, calcule o valor de-1det[(1/2)AB ].26.Numa matriz quadrada A=(a) de ordem 2, os elementos a, a, a, e a, nesta ordem, apresentam aij11122122seguinte propriedade: “Os três primeiros estão em P.A. e os três últimos em P.G., ambas de mesmarazão”. Calcule o determinante de A, se a =2.12O DOCENTE: WALDIK JAIME

ÁLGEBRA LINEAR & GEOMETRIA ANALÍTICA 427.Sabendo que:Calcule:28.Calcule o determinante:29.Resolva a equação na incógnita x:30.Determine o valor de x, de modos que a matriz A seja invertível:31.Seja dada a matriz:-1Determine o valor de x tal que det(A)=32.Dadas as matrizes:Calcule o determinante da matrizA.B33.Considere as matrizes:TSabendo que A=B, calcule o determinante da matriz:O DOCENTE: WALDIK JAIME

ÁLGEBRA LINEAR & GEOMETRIA ANALÍTICA 534.Calcule o valor de x na igualdade:T35.Calcule o determinante da matriz(A.B), sabendo que:36.Considere as matrizes:Calcule o determinante da matriz A, sabendo que B=2C.37.Dada a matriz A:2, e a função f(x)=-x -x-1.[]Calcule o valor de ()38.Dadas as matrizes:Ache os valores de x para que 2.det(3A)=3.det(2B).39.Sabendo que:Determine o valor de k.40.Resolva as seguintes equações:a) b) c)d) e) f)O DOCENTE: WALDIK JAIME

ÁLGEBRA LINEAR & GEOMETRIA ANALÍTICA 641.Calcule o determinante das matrizes:a) A=(a) | a =i+2jij2x2ijb) B=(b) | b =2i-3jij3x3ij2c) C=(c) | c =i-jij3x3ij2 2d) D=(d) | d =i -jij3x3ij2e) E=(e) | e =(i-j)ij3x3ij42.Calcule o determinante da matriz X, sabendo que:, tal que*+*+43.Seja A=(a) uma matriz quadrada de ordem 2 tal que a =2i-3j e seja. Calcule o*+ijijdeterminante da matriz X tal que X+2A=B.44.Dadas as matrizes:Ache o valor de k de modos que det(D)+2det(D)=0.12T T T45.Sejam x e y números reais tais que x.[1 3] + y.[1 -2] = [2 6] e seja A=(a), ondeij2x2Calcule o determinante da matriz A.46.Seja. Considere, por hipótese, det(A)= -7. Calcule:[]a) det(3A)-1b) det(2A)-1c) det((2A))d) ()47.Para que valores de k a matriz A deixa de ser invertível?a)b)O DOCENTE: WALDIK JAIME

ÁLGEBRA LINEAR & GEOMETRIA ANALÍTICA 748.Considere as matrizes quadradas de ordem 2:TSeja M=A.B. Calcule det(M).49.Para que valores de x, o determinante da matriz é positivo?[]-150.Seja A uma matriz quadrada de ordem 2 e de determinante 10. Se B=-2A e C=3B, calcule det(C).T51.Dada a matriz A=(a) com. Calculedet(A.A).{ij3x352.Dadas as matrizes e. Calcule o determinante de uma matriz B, sabendo*+*+-1que A BA=D.53.Sejam as matrizes, com. Calcule os valores de x sabendo que*+*+det(A.B)=-9.54.Seja. Se det(A)=6, calcule o valor de:[]55.Calcule o seguinte determinante:56.Se, calcule| |||57.Calcule o determinante da seguinte matriz:O DOCENTE: WALDIK JAIME

ÁLGEBRA LINEAR & GEOMETRIA ANALÍTICA 858.Calcule o determinante da seguinte matriz:59.O valor de um determinante é 48. Se dividirmos a 2ª linha por 8 e multiplicarmos a 3ª linha por 6, qualserá o valor do novo determinante?60.Calcular a matriz inversa das seguintes matrizes (pelo método da matriz adjunta):a) b) c)61.Calcular a matriz inversa das seguintes matrizes (pelo método de Jordan):a) b) c) d)62.Achar a característica (rango ou posto) da matriz:63.Classificar e resolver os seguintes sistemas de equações lineares:a) b) c) d)e) f)64.Estabelecer a condição que deve ser satisfeita pelos termos independentes para que os seguintessistemas sejam compatíveis:a) b) c) d)65.Calcular o valor de k para que o sistema admita solução não-trivial:O DOCENTE: WALDIK JAIME

ÁLGEBRA LINEAR & GEOMETRIA ANALÍTICA 966.Resolver os sistemas pelo método de Crâmer:a) b) c) d)67.Resolver os sistemas pelo método da matriz inversa:a) b)68.Seja A a matriz formada pelos coeficientes do sistema linear a seguir:a)Ache as raízes da equação: det(A)=0.b)Ache a solução geral desse sistema para69.Considere o seguinte sistema de equações lineares,Determine a relação entre a, b e c de forma que o sistema admita uma única variável livre.70.Discuta, em função dos parâmetros reais, a, b e c os seguintes sistemas:a) b) c) d)e) f)71.Resolva o sistema:O DOCENTE: WALDIK JAIME

ÁLGEBRA LINEAR & GEOMETRIA ANALÍTICA 1072.Considere o seguinte sistema:a)Discuta em função do parâmetro k.b)Considere o sistema homogéneo associado fazendo k=-1 e determine o conjunto fundamental desoluções.73.Considere o sistema (k є):a)Estude a característica da matriz do sistema em função do parâmetro k.b)Indique para que valores de k a matriz do sistema é invertível.c)Resolva o sistema, pelo método da matriz inversa, para k=0.74.Considere a matriz (k є):a)Determine os valores de k para os quais a matriz A admita inversa.T Tb)Considere k=-1 e sejam B=[1 10 2] e W=[x y z], com x, y, z є, resolva o sistema de equaçõeslineares, AW=AB.75.Considere as matrizes:a)Usando o teorema de Laplace calcule o determinante da matriz M, para a=2.b)Tendo em conta o parâmetro a є, indique a característica da matriz M.c)Discuta o sistema correspondente à equação matricial MX=B.Td)Para a=2, determine b є tal que [½ ½ 0 0] seja solução do sistema MX=B.76.Considere as matrizes:a)Utilizando o teorema de Laplace calcule o determinante da matriz C.b)Utilizando a matriz ampliada [C | I] determine a inversa da matriz C.c)Tendo em conta do parâmetro a є, calcule a característica da matriz A.d)Classifique o sistema correspondente à equação matricial AX=B.O DOCENTE: WALDIK JAIME

ÁLGEBRA LINEAR & GEOMETRIA ANALÍTICA 1177.Resolva o seguinte sistema de equações lineares:78.Classifique e resolva os sistemas lineares escalonados:a) b) c)79.Discuta os sistemas lineares:a) b) c) d) e)O DOCENTE: WALDIK JAIME

ÁLGEBRA LINEAR & GEOMETRIA ANALÍTICA 12RESPOSTAS1. 8.a) x=-8/3; b) x=3; c) x=5; d) x=1; e) x=7; f) x=-1; g)x =3; x =5;12h)x=4a)*+9. 462710. 1b)*+11. 102412. 324c)[]13. 7214. 32.15. x=1/816. 2a)[]17. 1/818. -219. √b)[ ] 20. 6121. k=422. 9623. N=4c)[ ] 24. x=11⁄25.26. -827. 6d)[]28. 029. S={0, a}30.3.a)m=-6 e n=5; b)m=±9 e n=±3; c)m=531. x=44.32. -233. 0a)[ ]34. √35. 436. x=1; y=3; z=537. -3/438. x =0; x =6/512b)[]39. k=20/940. a); b)x=27/5; c)x=±7; d)x =1; x =-2; e)x=1; f)x=2√1241.a)-2; b)0; c)0; d)0; e)8c)Igual alínea b. 42. -9043. 4d)* + 44. k=0 ou k=145. 3646. a)-189; b)-8/7; c)-1/56; d)7e)* +47.a)k=1; b) ()√48. 4f)Igual alínea e. 49. ] [ ] [50. 9/405. 51.1652. 553. x =2; x =-412a)[]54. 055. 3xyzw56. 4257. -4log 24 258. x - xb)[]59. 3660.c)Igual a alínea b.a)[ ]d)[ ] b)Matriz singularc)[ ]e)[ ]6.a)x=-1; y=-7; b)Ídem7.a) 22; b) -9; c) 0; d) 240; e)456; f)1655; g)0; h)0; i)0; j)0; k)0O DOCENTE: WALDIK JAIME

ÁLGEBRA LINEAR & GEOMETRIA ANALÍTICA 1361. e)Para b=2a, sistema compatível indeterminado;a)[ ] Para c=1 e b≠2a, sistema compatível determinado;f)Para a≠b≠c, sistema compatível determinado;Para a=b, sistema compatível indeterminado;b)[ ] Para a=c≠b, sistema compatível indeterminado;Para b=c≠a, sistema compatível indeterminado;71. x=y=z=t=0 (solução trivial)72.c)[ ] a)Para k=1, sistema incompatível;Para k=-1, sistema compatível indeterminadob)62. 3T T[x y z] =C.[1 0 1]63.73.a)Sistema incompatívela)b)Sistema compatível determinado: S={3, 3,- 2}Se k=1, então Ca=1; Se k=2, então Ca=3c) Sistema compatível determinado: S={1, 2, 3}b) k≠1 e k≠-2d) Sistema compatível indeterminado: S={-6C, 0, C}c) S={½; ½; -½ }e)Sistema incompatível74.f)Sistema compatível indeterminado: S={1, 1, 1}a) k≠0; k≠3/2; b)S={1, 10, 2}64.75. a) 8; b)Se a=1, então C =3; c) b=1Ma) 2a-4b+c=076.b) a,b,cє a) -1c) 2a-b+c=0d) a+b+c=0b) [ ]65. k=1266. a)x=5; y=7; b) x=3; y=1; c)x=5; y=4; z=3; d) x=6; y=4; z=267. a)x=4; y=2; b) x=1; y=268. λ =1; λ =-2 c) Se a=0, então Ca=1; Se a=1/3, então Ca=31,2369. Impossível d) Se a=0, sistema compatível indeterminado; Se a=1/3, sistema70. incompatível;a)Para a=2, sistema compatível indeterminado; 77. x=-1; y=0; z=1; w=2Para a≠2, sistema compatível indeterminado; 78.b) a)Sistema compatível deteerminado;Para b=0 e a≠-1, sistema incompatível; b)Sistema incompatível;Para b=0 e a=-1, sistema compatível indeterminado; c)Sistema compatível indeterminadoPara a=1 e b=-1, sistema compatível indeterminado; 79.Para a=1 e b≠-1, sistema incompatível; a)Para m≠-1, sistema possível determinado;c) Para m=-1, sistema incompatível;Para a=1 e b=1, sistema compatível indeterminado; Não existe m tal que o sistema seja compatível iindeterminadoPara a=1 e b≠1, sistema incompatível; b)a≠-9, sistema possível determinado;Para a=0, sistema compatível indeterminado; a=-9, sistema incompatívelPara a=b=-2, sistema compatível indeterminado; c)Para a≠±1, sistema compatível determinado;Para a=-2 e b≠-2, sistema incompatível; Para a=1, sistema compatível indeterminado;d) Para a=-1 e b=0, sistema compatível indeterminado;Para a≠1, sistema compatível determinado; Para a=-1 e b≠0, sistema incompatível;Para a=1 e b≠1, sistema incompatível; d)Para k≠2, sistema incompatível;Para a=0, b=1 e c≠0, sistema compatível indeterminado; Para k=2, sistema compatível indeterminadoPara a=0, b=1 e c=0, sistema incompatível; e)Para a=0 e b≠0, sistema incompatível;Para a=0 e b=0, sistemacompatível indeterminado;Para b=0 e a≠0, sistemacompatível indeterminado;O DOCENTE: WALDIK JAIME