Ficha de Exercícios n.º 3 de Cálculo Diferencial e Integral II: derivadas parciais · ISPTEC · 2021

Lista de Exercícios de Cálculo Diferencial e Integral II, do curso de Engenharia Mecânica no Instituto Superior Politécnico de Tecnologias e Ciências (ISPTEC), 2021.

Ficha de exercícios n.º 3 do 2.º semestre de 2021, com 41 grupos: derivadas parciais (pela definição, de 1.ª e 2.ª ordem), diferenciabilidade, plano tangente, gradiente, diferencial e aproximações, regra da cadeia e derivação implícita. Não tem resolução.

Tipo

Lista de Exercícios

Cadeira

Cálculo Diferencial e Integral II

Curso

Engenharia Mecânica

Universidade

Instituto Superior Politécnico de Tecnologias e Ciências

Ano

2021

Ficheiro

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Cálculo Diferencial e Integral IIoFicha de Exercícios n. 3Derivadas parciaisde funções reais de várias variáveis reaisoAno lectivo 2021/2. Semestre1. Usando a definição de derivada parcial, determime:∂f∂f 2 2(0,0) e (1,1) para f(x, y) = 2x y +y;1.1∂x ∂y∂f ∂f1.2 (1,−1) e (1,1) para f(x, y) = 2x+ 3y + 2xy;∂x ∂y22xy +y se y ≥ x∂f∂f(1,0) e (1,2) para f(x, y) =1.3.∂x ∂y 3x+ 2y se y < x2. Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções definidas por:2 x y2.1 f(x, y) = 2x + 3xy 2.6 f(x, y) = ln(e +e)2 y 2 22.2 f(x, y) = x e + sin(xy) 2.7 f(x, y) = x +yx+yx+ 12.8 f(x, y) =2.3f(x, y) = ln2 2x+yy2 yz3232.9 f(x, y, z) = x e +yln(z)2.4f(x, y) =xy+xy+x2 22xyx+y+z2.5 f(x, y) = e 2.10 f(x, y, z) = 523.Considere a funçãof:D⊆R −→ R, definida por xy √ se (x, y) 6= (0,0)2 2x+yf(x, y) = 0 se (x, y) = (0,0)∂f ∂fCalcule (x, y) e (x, y).∂x ∂y

Página 224.Considere a funçãof:D⊆R −→ R, definida por 2xyse (x, y) 6= (0,0)2 2x+yf(x, y) =0 se (x, y) = (0,0)∂f∂f(x, y) e (x, y).Calcule∂x ∂y5. Calcule as derivadas parciais de segunda ordem das funções definidas por:25.1 f(x, y) = 2x + 3xy 5.4 f(x, y) = ln (x+y) + ln (x−y)2 y5.2 f(x, y) = x e + sin(xy) 5.5 f(x, y, z) = sin(xyz)x+ 15.3 f(x, y) = ln 2 yz5.6f(x, y, z) =xe +ylnzy2 2∂z∂z2x6.Verifique se a funçãoz=eln(3ky) (k ∈ R) satisfaz a equação + = 0.2 2∂x∂y2 2∂z∂zkx7.Verifique se a funçãoz=ecos(ky) (k ∈ R) satisfaz a equação + = 0.2 2∂x∂y2 22x+y8. Considere a função f definida, em R, por f(x, y) = e.2 2 2∂f∂f∂f2 2 2Verifique se a função satisfaz a equaçãoy(x, y)−x(x, y) =xy (x, y),∀(x, y)∈R.2 2∂x∂y ∂x∂y2 2 29.Considere a funçãofdefinida porf(x, y, z) =x+y+ 4z + 1.3∂f9.1 Calcule∂x∂y∂z3∂f9.2 Calcule∂z∂x∂y210.Considere a funçãofdefinida porf(x, y) =2xy+y.2∂f10.1 Calcule∂x∂y3∂f10.2 Calcule3∂x211.Usando a definição, verifique que as funções dadas são diferenciáveis emR2 211.1f(x, y) = 2x−y11.2 f(x, y) = 2xy12. Verifique se as seguintes funções são diferenciáveis na origem.3 32 212.1 f(x, y) = x + y

Página 3 52xse (x, y) 6= (0,0)2 2x+y12.2f(x, y) =0 se (x, y) = (0,0)12.3 f(x, y) = x+y 4 2 2 3y + 3x y + 2yxse (x, y) 6= (0,0)2 2 2(x+y)12.4f(x, y) =0 se (x, y) = (0,0)1se (x, y) 6= (0,0)2 2x+y12.5f(x, y) = 0 se (x, y) = (0,0)213.Determine a região deR onde as funções dadas são diferenciáveis.2 2x−y2213.6 f(x, y) = e13.1f(x, y) =xy+xy2xy2 2 2 213.2f(x, y) =e13.7f(x, y) = (x+y) sen(x+y)2xy13.3 f(x, y) = 13.8 f(x, y) = arctg(2xy)2 2x+yy13.4 f(x, y) = ln(xy) 13.9 f(x, y) =() x2xy 1√13.5f(x, y) = sen 13.10 f(x, y) =2 2 2 2x+y(x−1)+ (y−1)2 222x+y+ 1sex+y < 113.11 f(x, y) =2 20sex+y ≥ 1 3x yse (x, y) 6= (0,0)2 2x+y13.12f(x, y) =0 se (x, y) = (0,0)14. Determine uma equação do plano tangente ao gráfico da função definida por f(x, y), no pontoP, no caso de o plano existir.2 214.1f(x, y) =1−x−y; P(0,0,1)14.2 f(x, y) = xy; P(0,0,0)2 214.3f(x, y) =(x−1)+ (y−1); P(1,1,0)2 214.4f(x, y) = 2x−3y; P(1,1,1)1 2√; P 1,1,14.5f(x, y) =2 2 2x+yx+y14.6f(x, y) =xe; P 1,1, f(1,1)2 214.7f(x, y) = 3y−2x +x; P(2,−1,−3)14.8 f(x, y) = xy; P(1,1,1)14.9 f(x, y) = xsen(x+y); P(−1,1,0)

Página 415. Determine uma equação do plano que contém os pontos de coordenadas (1,1,0) e (2,1,4) e é2 2tangente ao gráfico da função definida porf(x, y) =x+y.16. Determine o vector gradiente das funções dadas nos pontos indicados.()√π2 216.1f(x, y) =xx+y; P(1,1),016.6f(x, y) =xy−sen(x+y);P22 216.2f(x, y) =xy+ 3xy+y; P(0,3)2 2 2()16.7f(x, y, z) =x+y−zxyz; P(0,1,0)π16.3 f(x, y) = sen(3x+y); P 0,2 2 2 2 2√16.8 f(x, y) = (x +y) sen(x +y); P(0,0)2216.4f(x, y) = 4−x −y; P(0,0)2 2 16.9 f(x, t) = (x+ 2t) ln(x+ 2t); P(e,1)16.5f(x, y) =x+y−3;P(0,0)16.10 f(x, x, x, x) = x x −x x +x; P(2,2,1,3)12341213417. Determine o vector gradiente das funções definidas por:3x17.4 f(x, y) = cos(xy) + 417.1f(x, y) =y√ 2 2 217.5f(u, v, w) =uvw+u−v−w2 2x+y17.2f(x, y) = 22 5 2 2 217.3f(x, y, z) = 2xyz17.6f(x, y, z) =xyz + senx218.Sejafa função definida porf(x, y) =x + xy − y. Mostre que ∆f = df + R(∆x,∆y) e quelim R(∆x,∆y) = 0.(∆x,∆y)→(0,0)219.Considere a funçãofdefinida porf(x, y) =x+y−xy, ∆x = 0,01 e ∆y = 1. Calcule df(1,1)e ∆f(1,1).20. Calcule o diferencial das funções nos pontos dados.()π2zx20.3f(x, y, z) =xe +y; P (1,2,0)20.1f(x, y) =ecosy;P1,4 √2 2 2 2 220.2f(x, y) = ln(x+y);P(1,1)20.4f(x, y, z) =x+y+z; P (2,1,2)21. Determine o diferencial das funções dadas.2 2 22x+x+x21.1 f(x, y) = sen (x+y) 1 2 321.5f(x, x, x) =1 2 3x +x +x123x+y21.2f(x, y) =xe −y2x+y−z21.6 f(x, y, z) = e2 221.3f(u, v, w) =u+ lnv−wy x21.7 f(x, y) = arctg −arctgxyz21.4f(x, y, z) =e−xyx y22. Determine o erro decorrente de tomarmos o diferencial dz como uma aproximação do acréscimo∆z, nas seguintes situações:

Página 52 222.1z=x+y; (x, y) passa de (1,2) para (1,01; 2,01)2 222.2z=x+y; (x, y) passa de (1,2) para (1,01; 2,01)222.3z=xy; (x, y) passa de (2,4) para (2,1; 4,2)2V23. A energia consumida num resistor eléctrico é dada, em wats, por P =. Sabendo queRV = 120volts R = 12ohms, calcule o valor aproximado para a variação de energia quando Vdecresce 0,001 volts e R aumenta 0,02 ohm.24. Um terreno tem forma rectangular. Estima-se que os seus lados medem 1200 metros (largura)e 1800 metros (comprimento), com um erro máximo de 10 metros e 15 metros, respectivamente.Determine o possível erro de cálculo da área do terreno.25. Usando diferencial, obtenha o aumento aproximado do volume do cilindro circular recto quandoo raio da base varia de 3 cm para 3,1 cm e a altura varia de 21 cm para 21,5 cm.26. Um material é escoado de um recipiente formando uma pilha cónica. Num dado instante, o raioda base é 12 cm e a altura é de 8 cm.Usando diferencial, obtenha uma aproximação da variação do volume, sabendo que o raio variapara 12,5 cm e a altura para 7,8 cm. Compare o resultado com a variação exacta do volume.27. Considere o rectângulo com lados a = 5 com b = 2 cm. Como vai varia, aproximadamente, adiagonal desse rectângulo se o lado a aumenta 0,002 cm e o lado b diminuir 0,1 cm.28. Determine um valor aproximado para as seguintes expressões:0,015 2 2 228.11,01e(3,99)+ (4,01)+ (1,99)28.44 3 3,00128.2(0,995)+ (2,001)28.51,022 2 2 228.3(3,99)+ (4,01)(4,03)+ (2,9)28.6df29. Determine, usando a regra da cadeiadt2 229.1f(x, y) = tg(x+y), comx= 2tey=t29.2 f(x, y) = xcosy, com x = sent e y = t29.3 f(x, y) = arctg(xy), com x = 2t e y = 3tx 3 229.4f(x, y) =e(cosx+ cosy), comx=tey=tx −t, com x = e e y = lnt29.5f(x, y) =y229.6f(x, y) =xy, comx= 2t + 1 e y = sent√x1xy30.Sejaf(x, y) =+e, com x(t) = e y(t) = t.y t()dhDetermine, onde h(t) = f x(t), y(t).dt

Página 62t 231.Sejah(t) =f(e,cost), ondef:R → R é uma função diferenciável.′31.1Determineh(t) em função das derivadas parciais de f.∂f 12π ′31.2 Sabendo que (e,−1) =, determine h(π).∂x 2π∂z ∂z32. Determine as derivadas parciais, e, usando a regra da cadeia.∂u ∂v3222 232.1 z = x +y, com x = u + 1 e y = v2 232.2z= ln(x+y), com x = cosucosv e y = senucosvy32.3z=xe, com x = uv e y = u−v2 232.4z=x−y, com x = u−3v e y = u+ 2vxy32.5z=e, com x = ucosv e y = usenv∂z ∂z33. Determine as derivadas parciais, e, usando a regra da cadeia.∂x ∂y2r +s33.1 z =, com r = x+ 1 e s = x+ys233.2z=uv +vlnu, com u = 2x−y e v = 2x+y2 233.3z=l+m, com l = cos(xy) e m = sen(xy)2 2 2 2 2xy33.4z=u+v, comu=x−yev=e2 2 233.5z=uv+u, comu=xyev=x+y + ln(xy)34. Seja z = f(x, y), com x = rcosθ e y = rsenθ. Mostre que) () ())((22221∂z∂z∂z ∂z2∂x∂y∂rr ∂θ∂z ∂z35. Seja f uma função diferenciável tal que z = f(x−y, y −x). Mostre que + = 0.∂x ∂y∂z ∂z2236. Seja f uma função diferenciável tal que z = f(x +y). Mostre que y +x = 0.∂x ∂y2 237.Dada a equação 2x+ 2xy+z+xz = 1, verifique que esta define z como função implícita de1x e y, na vizinhança do ponto,0,0.22 2 238.Considere a equaçãoxz−yz+xyz −5 = 038.1 Verifique que a equação dada define z como função implícita de x e y, na vizinhança doponto P (3,1,1).∂z ∂z38.2 Calcule e, em P.∂x ∂y

Página 72 2 239.Considere a equaçãox+y+z −1 = 039.1 Verifique que a equação dada define z como função implícita de x e y, na vizinhança do()√√2 2ponto B 0,,.2 2∂z ∂z39.2 Calcule e, no ponto B.∂x ∂y2dydy40. Sendo y uma função de x definida implicitamente pela equação y = x+ lny, calcule e.2dxdx41. As equações dadas definem implicitamente y como função de x. Usando a regra da derivada dady.função implícita, determinedx241.1xy −x+ 2y = 0241.2x −xy −2x+ 3 = 02 241.3x−xy+y = 042. As equações dadas definem implicitamente z como função de x e de y. Usando a regra da∂z ∂zderivada da função implícita, determine e.∂x ∂y2 2 2 x+y+z42.1xy−y+z= 042.4e +xyz = 12 2 2 3 3 342.2x−3y+z= 1242.5x+y+z = x+y +z2 2 3 3 342.3x−2xy+z= 042.6xyz+x+y+z = 5

Página 8Soluções1.∂f ∂f1.1 (0,0) = 0 e (1,1) = 4∂x ∂y∂f ∂f1.2 (1,−1) = 0 e (1,1) = 5∂x ∂y∂f ∂f1.3 (1,0) = 3 e (1,2) = 3∂x ∂y2.∂f ∂f2.1 = 4x+ 3y; = 3x∂x ∂y∂f ∂fy 2 y2.2 = 2xe +ycos(xy); = x e +xcos(xy)∂x ∂y∂f 1 ∂f 12.3 =; = −∂x x+ 1 ∂y y∂f ∂f223 3 22.4 = 3x y +y + 1; = 2x y + 3xy∂x ∂y∂f ∂f2xy 2xy2.5 = 2ye; = 2xe∂x ∂yx ye∂fe∂f=; =2.6x y x y∂xe+e∂ye+e∂f x ∂f y√ √2.7=;=2 2 2 2∂x∂yx+yx+y2 2 2 2∂fy−x−2xy∂fx−y −2xy2.8 =; =2 2 2 2 2 2∂x(x+y)∂y(x+y)∂f ∂fyz 2 yz2.9 = 2xe; = x ze + lnz∂x ∂y∂f ∂f22 2 2x+y+zx+y+z2.10 = 5 ln 5; = (2 ln 5)y ×5∂x ∂y3. 3y √ se (x, y) 6= (0,0)∂f2 2 3(x, y) =(x+y)∂x0 se (x, y) = (0,0)3x √ se (x, y) 6= (0,0)∂f2 2 3(x, y) =(x+y)∂y0 se (x, y) = (0,0) 4 2 2y −x yse (x, y) 6= (0,0)∂f2 2 2(x+y)4.(x, y) =∂x0 se (x, y) = (0,0) 32x yse (x, y) 6= (0,0)∂f2 2 2(x+y)(x, y) =∂y0 se (x, y) = (0,0)

Página 95.5.1 f = 4; f = 0; f = f = 3xxyyxyyx′′ y 2 ′′ 2 y 2 ′′ ′′ y5.2 f = 2e −y sin(xy); f = x e −x sin(xy); f = f = 2xe −xysin(xy) + cos(xy)xxyyxyyx1 1′′′′ ′′ ′′5.3 f = −; f =; f = f = 0xxyyxyyx2 2(x+ 1)y2 2222(x+y) 4xy2(x+y); f = −; f = f =5.4f=−yyxyyxxx2 2 2 2 2 2(x+y)(x−y)(x+y)(x−y)(x+y)(x−y)′′ 2 2 ′′ 2 2 ′′ 2 25.5 f = −y z sin(xyz); f = −x z sin(xyz); f = −x y sin(xyz)xxyyzz′′ ′′ 2 ′′ ′′ 2f = f = zcos(xyz)−xyz sin(xyz); f = f = ycos(xyz)−xy zsin(xyz)xyyxxzzx′′ ′′ 2f = f = xcos(xyz)−x yzsin(xyz)yzzyy′′yz′′22yz′′22yz5.6 f = 2e; f = x z e; f = x y e −xxyyzz2z′′ ′′ yz ′′ ′′ yz ′′ ′′ yzf = f = 2xze; f = f = 2xye f = f = (2yz + 2)xexyyxxzzxyzzy6. Não 7. Sim 8. Não9.9.1 09.2 010.1 y(x+y)√ √10.1−2 32(2xy+y)2xy+y33y√10.22 5(2xy+y)11.12.12.1 Não 12.2 Sim 12.3 Sim 12.4 Não 12.5 Não13.213.1R213.2R2 \ {(0,0)}13.3R213.4{(x, y)∈R: (x > 0∧y > 0)∨(x < 0∧y < 0)}2 213.5R\ {(0,0)}13.7R2 213.6R13.8R

Página 102 213.9{(x, y)∈R:x6= 0}13.11R2 2 2 213.10R\ {(x, y)∈R:x+y = 1}14.14.1 z = 1 14.4 4x−6y −z = −1 14.7 z = −7x−6y + 514.2 z = 0 14.5 x+y + 2 2z = 4 14.8 x+y −2z = 02 2 214.3Não existe14.62ex+ey−z= 2e 14.9 x+y +z = 015. 4x−z = 4; 4x+ 4y −z = 816.)( ()√√π2 23 16.6 0,,16.1 22 216.7 (0,2,0)16.2 (9,6)16.8 (0,0)16.3(0,0)16.9 (1 + ln(e+ 2),2 + 2 ln(e+ 2))16.4(0,0)16.5 (0,0) 16.10 (1,2,−2,1)17.32 5 2 4 2 5x3x17.3 (4xy z,10x y z,2x y),−17.12yy17.4 (−ysen(xy),−xsen(xy))() 17.5 (vw+ 2u, uw−2v, uv −2w)2x 2y√ √17.2,2 2 2 2 2 2222217.6(2xyz+ cosx,2xyz,2xyz)x+yx+y18. df = (2x+y)dx+ (x−1)dy2∆f= (2x+y)∆x+ (x−1)∆y+ (∆x) + ∆x∆y2R(∆x,∆y) = (∆x) + ∆x∆y19. df(1,1) = −1; ∆f(1,1) = −2,0320.2 220.1 edx− edy2 220.2 dx+dy20.3 dx+dy + 2dz2 1 220.4 dx+ dy + dz3 3 3

Página 1121.21.1 2 sen(x+y) cos(x+y)dx+ 2 sen(x+y) cos(x+y)dyx+y x+y21.2(x−1)edx+ (xe −1)dy1dv −2wdw21.32udu+vxyz xyz xyz21.4(yze−y)dx+ (xze−x)dy+xyedz2 2 2 2 2 2 2 2 2x−x−x+ 2xx+ 2xxx−x−x+ 2xx+ 2xxx−x−x + 2x x + 2x x1 2 1 3 1 2 2 3 1 3 2 312321331221.5 dx + dx + dx123222(x +x +x) (x +x +x) (x +x +x)1231231232 2 2x+y+zx+y+zx+y+z21.6 e dx+e dy −2ze dz2y 2xdx+ dy21.7−2 2 2 2x+yx+y22.−4 −622.12×1022.25×10 22.3 0,122323.−2,02 watts25.17,1πcm 27. −0,03528 cm2 324.36000 m26.22,4πcm28.28.1 1,175 28.3 5,6568 28.5 1,0628.2 8,992 28.4 5,9966 28.6 4,96429.2 229.110tsec(5t)2 229.2cost−sent12t29.3436t + 13t 3 3 2 329.4 te (−3tsent + 3tcost + 3tcost −2 sent)−t −tee29.5 − − 2lnt tln t229.64tsent(2t + 1) cost3 t tt√30.−−e222t2tt31.∂f∂f 31.2 2.2t2t2t31.1 2e (e,cost)−sent (e,cost)∂x ∂y

Página 1232.3∂z2u + 2u ∂z v√ √32.1=e=2 2 2 2 2 2∂u∂v(u+ 1)+v(u+ 1)+v∂z ∂z32.2 = 0 e = −2 tgv∂u ∂v∂z ∂zu−v u−v32.3 = v(1 +u)e e = u(1−v)e∂u ∂v∂z ∂z32.4 = −10v e = −10u+ 10v∂u ∂vcotgv∂z∂ze32.5 = 0 e = −2∂u∂vsenv33.2 2∂zx+ 2xy+ 2y−1(x+ 1)∂z33.1 = = −e2 2∂x(x+y)∂y(x+y)4x+ 2y∂z2 2 2= 2(2x+y) + + 2(4x −y) + 2 ln(2x−y) e33.2∂x 2x−y∂z 2x+y2 2 2= −(2x+y) − + 2(4x −y) + ln(2x−y)∂y 2x−y∂z ∂z33.3 = 0 e = 0∂x ∂y∂z∂z224xy 2 2 4xy= 4x(x −y) + 4ye e = −4y(x −y) + 4xe33.4∂x ∂y∂z ∂z322 3 2 233.5 = y + 3x y + 2xy +y +yln(xy) e = x + 3xy + 2x y +y +xln(xy)∂x ∂y34. 35. 36. 37.38.38.1∂z 2 ∂z 438.2 (3,1) = −; (3,1) = −∂x 7 ∂y 739.39.1 () ()∂z 2 ∂z 239.2 0, = 0; 0, = 0∂x 2 ∂y 22dyydy y40. =; = −.2 3dxy−1dx(y−1)41.1−2xy 2x−y −2 y −2x41.1 41.2 41.32x + 2 x 2y −x

Página 1342.x+y+z x+y+z2∂ze+yz∂ze +xzxy∂zx−2y∂z42.4 = e ==−e=−42.1x+y+z x+y+z∂xe+xy∂ye +xy∂xz∂y2z2 2∂z1−3x∂z1−3y∂zx∂z3y42.5 = e = 42.2=−e=2 2∂x3z−1 ∂y3z −1∂xz∂yz2 2∂zy−x∂zx∂zyz+ 3xxz+ 3y∂z42.3 = e = 42.6 = − = −e2 2∂xz∂yz∂xxy+ 3z∂yxy+ 3zReferências[1] James Stewart. Cálculo, Vol. 2. Cengage Learning. São Paulo, 2013.a[2] Diva Flemming e Mirian Gonçalves.Cálculo A, 6. Edição. Pearson. São Paulo, 2006.a[3] Diva Flemming e Mirian Gonçalves.Cálculo B, 2. Edição. Pearson. São Paulo, 2007.[4] Hamilton Luiz Guidorizzi. Um Curso de Cálculo, Vol. 2. Livros Técnico e Científicos Editora. Riode Janeiro, 2005.[5] Ana Castro, Ana Viamonte e António Sousa. Cálculo I - Conceitos Exercícios e Aplicações.Publindústria, Edições Técnicas. Porto, 2013.[6] William Briggs, Lyle Cochran e Bernard Gillett. Calculus for Scientists and Engineers. PearsonEducation, 2013.n[7] Manuel Alberto Ferreira. Cálculo Direfencial emR - Exercícios. Edições Sílabo, 2008.