Lista de Exercícios de Resistência de Materiais II – ISPTEC 2026 · Engenharia Civil · Prof. Herman Dumby
Lista de Exercícios de Resistência de Materiais II, do curso de Engenharia Civil no Instituto Superior Politécnico de Tecnologias e Ciências (ISPTEC), 2026. Docente: Prof. Herman Dumby.
Primeiras linhas de Lista de Exercícios de Resistência de Materiais II – ISPTEC 2026 · Engenharia Civil · Prof. Herman Dumby
Diagramas de Esforços (Revisões) 1. Calcule as reacções de apoio e os diagramas de esforços nas seguintes estruturas. a. b. c. 1 ISPTEC - Instituto Superior Politécnico de Tecnologias e Ciências Veteraano d. e. 2 ISPTEC - Instituto Superior Politécnico de Tecnologias e Ciências Veteraano Estado plano de tensão e estado plano de extensão 1. O estado de tensão em um ponto é mostrado no elemento. Determine: a) As…
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- Tipo
- Lista de Exercícios
- Cadeira
- Resistência de Materiais II
- Curso
- Engenharia Civil
- Universidade
- Instituto Superior Politécnico de Tecnologias e Ciências
- Ano
- 2026
- Docente
- Prof. Herman Dumby
- Ficheiro
- PDF, 29 páginas
- Desbloqueado
- 5 vezes
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Estado plano de tensão e estado plano de extensão1. O estado de tensão em um ponto é mostrado no elemento. Determine:a) As tensões principais. Especifique a orientação do elemento em cada caso.b) A tensão tangencial máxima no plano e a tensão normal média no ponto.Especifique a orientação do elemento em cada caso.𝜎 = 52.97𝑀𝑃𝑎 𝜎 = −67.97𝑀𝑃𝑎12𝜃 = 14,37° 𝜃 = −75,13°12𝜏 = 60.47𝑀𝑃𝑎 𝜎 = −7.5𝑀𝑃𝑎𝑚𝑎𝑥𝑚𝑒𝑑2. O estado de tensão em um ponto é mostrado no elemento. Determine (a) astensões principais e (b) a tensão tangencial máxima no plano e a tensão normal médiano ponto. Especifique a orientação do elemento em cada caso.𝜎 = 310.04𝑀𝑃𝑎 𝜎 = −260.04𝑀𝑃𝑎12𝜃 = 71,06° 𝜃 = −18,94° 𝜏 = 285.04𝑀𝑃𝑎 𝜎 = 25𝑀𝑃𝑎12𝑚𝑎𝑥𝑚𝑒𝑑3ISPTEC - Instituto Superior Politécnico de Tecnologias e CiênciasVeteraano
3. O estado de tensão em um ponto em um elemento estrutural é mostrado noelemento. Determine as componentes da tensão que agem no plano inclinado AB.Resolva o problema usando o método de equilíbrio e depois com circulo do Mohr.𝜎 = 49.69𝑀𝑃𝑎 𝜏 = −34.82𝑀𝑃𝑎𝑥´𝑥´𝑦´4. Determine o estado de tensão equivalente em um elemento, se ele estiverorientado a 60° em sentido horário em relação ao elemento mostrado.𝜎 = −0.0289𝑀𝑃𝑎 𝜎 = 0.329𝑀𝑃𝑎 𝜏 = −0.0699𝑀𝑃𝑎𝑥´𝑦´𝑥´𝑦´5. A barra de aço tem espessura de 12 mm e está sujeita à carga periférica mostradana figura. Determine as tensões principais desenvolvidas na barra.𝜎 = 0.333𝑀𝑃𝑎 𝜎 = −0.333𝑀𝑃𝑎124ISPTEC - Instituto Superior Politécnico de Tecnologias e CiênciasVeteraano
6. As fibras da madeira da tábua formam um ângulo de 20 graus com a horizontalcomo mostra a figura. Determine a tensão normal e a tensão de tangencial que agemperpendicularmente às fibras, se a tábua é submetida a uma carga axial de 250 N.𝜎 = 19.50𝑘𝑃𝑎 𝜏 = 53.57𝑘𝑃𝑎𝑥´𝑥´𝑦´7. Um bloco de madeira falhará, se a tensão de tangencial que age ao longo da fibrafor 3,85 MPa. Se a tensão normal em x for de 2,8 MP a, determine a tensão decompressão em y necessária para provocar ruptura.𝜎 = −5.767𝑀𝑃𝑎𝑦8. O tubo de aço tem diâmetro interno de 68 mm e diâmetro externo de 75 mm. Seestiver preso em C e for submetido à força horizontal de 100 N que age naextremidade do cabo da chave, determine as tensões principais no tubo no ponto Alocalizado na superfície do tubo. Resolva o Problema para o ponto B localizado nasuperfície do tubo.𝜎 = 0.863𝑀𝑃𝑎 𝜎 = −0863𝑀𝑃𝑎125ISPTEC - Instituto Superior Politécnico de Tecnologias e CiênciasVeteraano
9. Determine o estado de tensão equivalente se um elemento estiver orientado a 20graus em sentido horário em relação ao elemento mostrado. Mostre o resultado noelemento.𝜎 = 4.986𝑀𝑃𝑎 𝜎 = −3.986𝑀𝑃𝑎 𝜏 = −1.457𝑀𝑃𝑎𝑥´𝑦´𝑥´𝑦´10. As componentes do estado o plano de deformação no ponto sobre a aba do pino−6 −6 −6𝜖= 200 ∗ 10,𝜖= 180 ∗ 10e𝛾= −300 ∗ 10. Use as equações de𝑥 𝑦 𝑥𝑦transformação da deformação e determine as deformações equivalentes no planosobre um elemento orientado a um ângulo 𝜃 = 60° em sentido anti-horário emrelação à posição original.−6 −6 −6𝜀= 55. 10 ∗ 10𝜀= 324.90 ∗ 10𝛾= 132.67 ∗ 10𝑥´ 𝑦´ 𝑦´𝑥´11. As componentes do estado plano de deformação no ponto sob: o dente daengrenagem são Ex = 520(10-6), EY = -760(10-6), yxy = -750(10-6). Use as equações detransformação da deformação para determinara) As deformações principais no plano eb) A distorção máxima no plano e a deformação normal média. Em cada caso,especifique a orientação do elemento e mostre como as deformações distorcem oelemento no plano x-y.−6 −6 −3𝜀= 621. 772 ∗ 10𝜀= −861.77 ∗ 10𝛾= 1.48 ∗ 101 2 𝑚𝑎𝑥6ISPTEC - Instituto Superior Politécnico de Tecnologias e CiênciasVeteraano
12. As componentes do estado plano de deformação no ponto sobre a chave de porcasão Ex = 260(10-6), Ey = 320(10-6) e 'Yxy = 180(10-6). Use as equações detransformação da deformação para determinar (a) as deformações principais no planoe (b) a distorção máxima no plano e a deformação normal média. Em cada caso,especifique a orientação do elemento e mostre como as deformações distorcem oelemento no plano x-y.−6 −6𝜀= 384.87 ∗ 10𝜀= 195.13 ∗ 101 2−6 −6𝜃= 54,22°𝜃= −35,78°𝜏= 189.74 ∗ 10𝜀= 290 ∗ 101 2 𝑚𝑎𝑥 𝑚𝑒𝑑13. A roseta de deformação a 45° está montada sobre um eixo de aço. As seguintesleituras foram obtidas em cada extensómetro: Ea = 800(10-6), Eb = 520(10-6), Ec = -450(10-6). Determine (a) as deformações principais no plano e suas orientações.7ISPTEC - Instituto Superior Politécnico de Tecnologias e CiênciasVeteraano
FLEXÃO CIRCULAR E DESVIADA1. Uma peça de máquina de ferro fundido está submetida à acção de um momento de3 kNm. Sabendo-se que o módulo de elasticidade toma o valor E =175 GPa, determine:a) As máximas tensões de tracção e de compressão;b) O raio de curvatura da peça flectida.𝜎 = 131.3 𝑀𝑃𝑎 𝜎 = 76.0 𝑀𝑃𝑎 𝜌 = 50.6 𝑀𝑃𝑎𝑚𝑎𝑥𝑚𝑖𝑛2. Um elemento com as dimensões mostradas na figura deverá ser usado para resistira um momento flector interno M = 2 kN · m. Determine a tensão máxima no elementose o momento for aplicado (a) em torno do eixo z e (b) em torno do eixo y. Trace umrascunho da distribuição de tensão para cada caso.𝜎 = 13.89𝑀𝑃𝑎 𝜎 = 27.78𝑀𝑃𝑎𝑚𝑎𝑥𝑚𝑎𝑥8ISPTEC - Instituto Superior Politécnico de Tecnologias e CiênciasVeteraano
3. A peça de máquina feita de alumínio está sujeita a um momento M = 75 Nm.Determine a tensão de flexão criada nos pontos B e C da seção transversal. Trace umrascunho dos resultados sobre um elemento de volume localizado em cada um dessespontos.𝜎 = 3.612𝑀𝑃𝑎 𝜎 = 1.548𝑀𝑃𝑎𝐵𝑐4. O tubo rectangular representado na figura (secção transversal) é fabricado em açoS235. Determine o momento flector a que pode estar submetido quando o plano deacção coincide com o plano vertical de simetria.𝑀 = 21.6 𝑀𝑃𝑎9ISPTEC - Instituto Superior Politécnico de Tecnologias e CiênciasVeteraano
5. Determine a maior tensão de flexão desenvolvida no elemento se ele for submetidoa um momento flector interno M = 40 kNm.𝜎 = 128.51 𝑀𝑃𝑎𝑚𝑎𝑥6. A figura seguinte representa a secção transversal de uma madre de uma cobertura,sujeita a um carregamento actuando num plano vertical (e.a. vertical).a) Calcule a inclinação, α, da cobertura de forma que a secção fique sujeita aflexão circular plana.b) Nas condições da alínea anterior, determine as tensões normais extremas.𝑎) 40.4 ° 𝑏) 𝜎 = 𝜎 = 129.9 𝑀𝑃𝑎max(𝑐𝑜𝑚𝑝)max(𝑡𝑟𝑎𝑐)10ISPTEC - Instituto Superior Politécnico de Tecnologias e CiênciasVeteraano
7. Se a viga tiver seção transversal quadrada de 225 mm em cada lado, determine atensão de flexão máxima absoluta na viga.𝜎 = 40.49 𝑀𝑃𝑎𝑚𝑎𝑥8. A figura seguinte representa a secção transversal de uma madre de uma cobertura,à qual está aplicado um momento flector actuando num plano vertical. Sabendo que atensão no ponto P é de 90 MPa (compressão), determine:a) O valor do momento;b) As tensões normais máximas na secção.c) A posição do eixo neutro𝑎)1.497 𝑏) 𝜎 = 𝜎 = 169.7 𝑀𝑃𝑎max(𝑐𝑜𝑚𝑝)max(𝑡𝑟𝑎𝑐)9. Uma viga tem a secção transversal constituída por dois UNP 65. Supondo-se sujeitaa dois binários, actuando no plano horizontal 4 kNm e outro no plano vertical de 2kNm, determine:a) A posição do eixo neutro;b) As tensões normais máximas𝑎) 𝑦 = 1.37𝑥 𝑏) 𝜎 = −156.7 𝑀𝑃𝑎 𝜎 = 156.7 𝑀𝑃𝑎max(𝑐𝑜𝑚𝑝)max(𝑡𝑟𝑎𝑐)11ISPTEC - Instituto Superior Politécnico de Tecnologias e CiênciasVeteraano
10. O momento M, que actua num plano que faz um ângulo º 30= β com a vertical, éaplicado à viga de secção transversal indicada. Determinar as tensões normais nospontos A e B.𝜎 = 149.63 𝜎 = −10.75 𝑀𝑃𝑎AB11. Um binário de intensidade M = 5.10 kNm. Actuando num plano vertical, é aplicadona viga cuja secção é a indicada na figura. Determine a tensão no ponto A e o ânguloformado pelo eixo neutro e o plano horizontal.𝜎 = 13.99 𝑀𝑃𝑎 𝛼 = 41.45 °A12ISPTEC - Instituto Superior Politécnico de Tecnologias e CiênciasVeteraano
12. A tábua é usada como uma trave de assoalho simplesmente apoiada. Se ummomento ftetor M = 1,2 kNm, for aplicado a 3 graus em relação ao eixo z, determine atensão desenvolvida na tábua no canto A. Compare essa tensão com a desenvolvidapelo mesmo momento aplicado ao longo do eixo z (O = 0°). Qual é o ângulo para o eixoneutro quando O = 3°? Comentário: Normalmente, as tábuas do assoalho seriampregadas à parte superior da viga de modo que angulo seja 0 graus e a alta tensãodevida a um mau alinhamento eventual não ocorreria.𝜎 = 7.40 𝑀𝑃𝑎 𝜎 = 6.40 𝑀𝑃𝑎 𝛼 = 25.25°𝐴´𝐴13. Numa secção rectangular com diagonal (d) constante, qual a relação entre a altura(h) e a largura (b) para que seja máxima a resistência à flexão?13ISPTEC - Instituto Superior Politécnico de Tecnologias e CiênciasVeteraano
FLEXÃO COMPOSTA1. Determine o núcleo central das seguintes secções:a) Rectângulo de dimensões largura B e altura H;b) UNP 100;c) Círculo de raio R;d) Secção triangular.2. Uma coluna de aço, com a secção transversal indicada na figura está comprimidaexcentricamente por uma força kN F 100 = (perpendicular à secção), aplicada em P.Calcular as tensões nas fibras extremas A, B, C e D e ainda a posição do eixo neutro.14ISPTEC - Instituto Superior Politécnico de Tecnologias e CiênciasVeteraano
3. A viga de madeira de secção indicada está submetida a um esforço axial excêntricode 4.8 kN.a) Determine as tensões nos vértices A, B, C e D;b) Determine a posição do eixo neutro.4. Dimensione em aço S235 a estrutura plana representada na figura seguinte,utilizando um perfil IPE. Nota: Despreze o efeito do esforço transverso.15ISPTEC - Instituto Superior Politécnico de Tecnologias e CiênciasVeteraano
5. Determine as tensões normais extremas na base do seguinte muro de suporte de3terras (γ = 25 kN/m). Nota: O estudo do muro é feito por metro linear decomprimento.𝜎 = −167.9 𝑀𝑃𝑎 𝜎 = −38.4 𝑀𝑃𝑎𝑚𝑎𝑥𝑚𝑖𝑛16ISPTEC - Instituto Superior Politécnico de Tecnologias e CiênciasVeteraano
6. Supondo uma tensão admissível no solo, σ =0. 20MPa, verifique a segurança daadmfundação do pilar indicado7. Considere o seguinte pilar em aço S235, sujeito a uma força de compressão N (kN).A secção transversal é constituída por um UNP200.a) Determine o valor máximo de N, de forma que a tensão normal máxima seja inferiora 200 MPa.b) Determine a posição do eixo neutro𝑁 = 196.2 𝑘𝑁 𝑦 = 6.3 + 2.17𝑥17ISPTEC - Instituto Superior Politécnico de Tecnologias e CiênciasVeteraano
38. Considere a seguinte sapata em betão armado (γ = 25 kN/m),onde assentam doispilares. As acções dos pilares são as indicadas na figura, sendo P = 300kN, P = 200kN e12M = 100 kNm.a) Determine as tensões normais extremas (máximas e mínimas) na base da sapata.b) Determine o centro de pressões e o núcleo central.𝑎) 𝜎 = −209.60 𝑀𝑃𝑎 𝜎 = −30.0 𝑀𝑃𝑎max(𝑐𝑜𝑚𝑝)min(𝑐𝑜𝑚𝑝)| = 0.18𝑚𝑏) |𝑒 |𝑒 | = 0.072𝑚𝑥𝑦18ISPTEC - Instituto Superior Politécnico de Tecnologias e CiênciasVeteraano
9. Considere a seguinte sapata circular onde assenta um pilar de (2m) altura também3circular, perfeitamente centrado. O material utilizado é o betão armado (γ = 25 kN/m).19ISPTEC - Instituto Superior Politécnico de Tecnologias e CiênciasVeteraano
ESFORÇOS DE ESCORREGAMENTO10. Considere a peça mista de betão e aço (n = Eb / Ea = 0.1). Determine o diagrama deesforços de escorregamento para os quais devem ser dimensionados os elementos deligação.TENSÕES TANGENCIAIS1. Na secção indicada na figura, sujeita a um esforço transverso de 50 kN, determine:a) A evolução das tensões tangenciais na alma e nas abas. b) A resultante dessastensões tangenciais.20ISPTEC - Instituto Superior Politécnico de Tecnologias e CiênciasVeteraano
2. Se a viga de abas largas for submetida a uma tensão tangencial na alma de V = 125kN, determine a tensão tangencial máxima na viga𝜏 = 19.87 𝑀𝑃𝑎𝑚𝑎𝑥3. Considere a secção da viga, representada na figura seguinte, sujeita a um esforçotransverso de 10 kN. Determine: a) A evolução das tensões tangenciais na alma e nosbanzos. b) O valor das tensões tangenciais nos pontos A e B.21ISPTEC - Instituto Superior Politécnico de Tecnologias e CiênciasVeteraano
4. Determine a evolução das tensões tangenciais nas seguintes secções e as respectivasresultantes.5. Se o tubo estiver sujeito a um cisalhamento V= 75 kN, determine a tensão tangencialmáxima nele.𝜎 = 43.17 𝑀𝑃𝑎𝑚𝑎𝑥22ISPTEC - Instituto Superior Politécnico de Tecnologias e CiênciasVeteraano
6. Se viga T for submetida a uma força vertical V = 60 kN, determine a força tangencialvertical à qual a aba resiste.𝑉 = 19.08 𝑘𝑁𝑓7. A viga T esta sujeita ao carregamento mostrado na figura. Determine a tensãotransversal máxima na secção critica da viga.𝜏 = 14.74 𝑀𝑃𝑎𝑚𝑎𝑥23ISPTEC - Instituto Superior Politécnico de Tecnologias e CiênciasVeteraano
CENTRO DE CORTE8. A viga, com a secção em U indicada na figura, está sujeita a forças actuando numplano vertical. Por onde deverá passar este plano, para que não exista momento torsorna secção.24ISPTEC - Instituto Superior Politécnico de Tecnologias e CiênciasVeteraano
9. Determine o centro de corte da seguinte secção com espessura constante de 0.6 cm.10. Determine o centro de corte da seguinte secção.25ISPTEC - Instituto Superior Politécnico de Tecnologias e CiênciasVeteraano
11. Determine o centro de corte na seguinte secção de espessura constante igual a 5mm (Dimensões em mm).26ISPTEC - Instituto Superior Politécnico de Tecnologias e CiênciasVeteraano
Deformações em estruturas isostáticas1. Determine os deslocamentos e as rotações nas secções A, B e C da seguinte viga.Utilize o método da integração da linha elástica.2. Determine a rotação e a flecha na secção central da seguinte viga.27ISPTEC - Instituto Superior Politécnico de Tecnologias e CiênciasVeteraano
3. Utilizando os Teoremas de Mohr, determine a rotação e o deslocamento naextremidade livre das seguintes vigas em consola4. Utilizando a integração da linha elástica e os Teoremas de Mohr, determine a flechana secção central C, supondo que a viga AE é de aço (E = 200 GPa) e tem uma secçãocircular de 30 mm de diâmetro.28ISPTEC - Instituto Superior Politécnico de Tecnologias e CiênciasVeteraano
5. Dada a viga em consola AD, determine a flecha e a rotação na extremidade da vigaprovocadas pelo binário Mo.6. Para a viga e o carregamento indicados determine o deslocamento horizontal docentro de gravidade da secção C.29ISPTEC - Instituto Superior Politécnico de Tecnologias e CiênciasVeteraano