2.ª Prova Parcelar de Cálculo Diferencial e Integral I, turma EMC1 T1 · ISPTEC · 2017

2.ª Prova Parcelar de Cálculo Diferencial e integral I, do curso de Engenharia Civil no Instituto Superior Politécnico de Tecnologias e Ciências (ISPTEC), 2017. Docente: Prof. José Maria Samuco.

Prova parcelar com duração de 120 minutos destinada a estudantes de Engenharia Mecânica. O documento contém 3 exercícios com resolução e critério de classificação: estudo de funções (concavidades, inflexão, monotonia e extremos), cálculo de derivadas e estudo de continuidade. Inclui todas as etapas de resolução e respetiva pontuação.

Tipo

2.ª Prova Parcelar

Cadeira

Cálculo Diferencial e integral I

Curso

Engenharia Civil

Universidade

Instituto Superior Politécnico de Tecnologias e Ciências

Ano

2017

Docente

Prof. José Maria Samuco

Ficheiro

PDF, 8 páginas

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2.ª Prova ParcelarDuração: 120 minutosDisciplinaCálculo Diferencial e Integral ILicenciatura em Engenharia Mecânica Data: 02/06/2017CursoJosé Maria Samuco Turma: EMC1 T1DocenteNome do aluno N.º:• Na resposta a cada questão proposta, apresente todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificaçõesnecessárias.• Responda com uma esferográfica de tinta indelével, de cor preta ou azul.• Não é permitido o uso de calculadora nem de corrector.• Identifique as suas respostas com o número apresentado no enunciado. As respostas não identificadas serãoclassificadas com zero valores.• Apresente a sua resposta, a cada uma das questões propostas, em páginas diferentes da folha de respostas,preservando a ordem.• Na resolução das questões que envolvem o cálculo de limites, não é permitido o uso de infinitésimosequivalentes. O não cumprimento desta norma, implica a atribuiação de zero valores a todas as etapas quedependam da aplicação dos infinitésimos equivalentes.

aTurma: EMC1 T12. P. Parcelar de Cálculo Dif. e Integral I - Pág. 2 de 8 02/06/2017x1.Sejaha função definida, emR, porh(x) = (−3x−3)e.1.1 (3 valores) Determine a equação reduzida da recta normal ao gráfico da função h, no pontode abcissa x = 0.Resolução/critério de classificação:A derivada da função h é definida por′ ′ x x ′h(x) = (−3x−3)e + (−3x−3)(e)′ x xh(x) = −3e + (−3x−3)e′ xh(x) = (−3x−6)e1 1 1= −.= O declive da recta normal ao gráfico dehé−′ 0h(0) (−3×0−6)e 60Um ponto da recta normal ao gráfico dehé (0,h(0)), sendoh(0) = (−3×0−3)×e = −3.1Logo, a equação reduzida da recta normal é y = x−3.6′Calcularh(x)....................................................................... 1−1Calcular..................................................................... 0,8′h(0)Calcular h(0)...................................................................... 0,2Escrever a equação reduzida da recta normal........................................ 1

aTurma: EMC1 T12. P. Parcelar de Cálculo Dif. e Integral I - Pág. 3 de 8 02/06/20171.2 (3 valores) Estude a função h quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quantoa existència de pontos de inflexão.Resolução/critério de classificação:A derivada da função h é definida por′ ′ x x ′h(x) = (−3x−3)e + (−3x−3)(e)′ x xh(x) = −3e + (−3x−3)e′ xh(x) = (−3x−6)eA segunda derivada da função h é definida por′′ ′ x x ′h (x) = (−3x−6)e + (−3x−6)(e)′′ x xh (x) = −3e + (−3x−6)e′′ xh (x) = (−3x−9)e′′ x xh(x) = 0⇐⇒(−3x−9)e= 0⇐⇒ −3x−9 = 0∨e = 0 ⇐⇒ −3x−9 = 0 ⇐⇒ x = −3.x –∞ –3 +∞h´ + 0 –h P.I. O gráfico da função h tem concavidade voltada para baixo no intervalo ]−3,+∞[.O gráfico da função h tem concavidade voltada para cima no intervalo ]− ∞,−3[.)(6O ponto de coordenadas −3, é ponto de inflexão do gráfico da função h.3e′Calcularh(x)..................................................................... 0,5′′(x).....................................................................0,5Calcularh′′Resolver a equaçãoh(x) = 0...................................................... 0,6′′Apresentar uma tabela de sinal deh e sentido de concavidade de h............... 0,8Indicar o intervalo onde o gráfico de h tem concavidade voltada para baixo........0,2Indicar o intervalo onde o gráfico de h tem concavidade voltada para cima........ 0,2Indicar as coordenadas do ponto de inflexão do gráfico de h....................... 0,2

aTurma: EMC1 T12. P. Parcelar de Cálculo Dif. e Integral I - Pág. 4 de 8 02/06/20172. Considere a função g definida, em ]0,+∞[, por g(x) = −3x+ lnx.2.1 (3 valores) Estude a função g quanto à monotonia e quanto à existência de extremos rela-tivos.Resolução/critério de classificação:1′A derivada da função g é definida por g (x) = −3 +.x−3x+ 1 11′= 0 ⇐⇒ = 0 ⇐⇒ −3x+ 1 = 0∧x 6= 0 ⇐⇒ x =.g(x) = 0⇐⇒ −3 +x x 31 +∞x 03+ 0n.d.3x+1 x n.d. + + +g + 0n.d. g n.d. Máx1A função g é decrescente no intervalo,+∞.3]]10,A funçãogé crescente no intervalo.3)(1é ponto de máximo relativo da função g, sendo,−1−ln 3O ponto de coordenadas3o máximo igual a −1−ln 3.′Calcularg(x)..................................................................... 0,4′Resolver a equaçãog(x) = 0...................................................... 0,6′Apresentar uma tabela de sinal deg e monotonia de g............................ 1,4Indicar o intervalo onde a função g crescente...................................... 0,2Indicar o intervalo onde a função g decrescente....................................0,2Indicar o máximo relativo de g....................................................0,2

aTurma: EMC1 T12. P. Parcelar de Cálculo Dif. e Integral I - Pág. 5 de 8 02/06/2017′2.2(3 valores) Calculeg(1), usando a definição.Resolução/critério de classificação:g(x)−g(1)′g (1) = limx→1 x−1−3x+ lnx+ 3= limx→1 x−1()−3x+ 3 lnx= lim +x→1 x−1 x−1lnx= −3 + limx→1 x−1y= −3 + limyy→0e −11= −3 + lim ye −1y→0y1= −3 +1= −2g(x)−g(1)′Escrever g (1) = lim................................................... 0,4x→1 x−1−3x+ lnx+ 3′Escrever g (1) = lim............................................... 0,2x→1 x−1Levantar a indeterminação........................................................ 1,6′Obterg(1)........................................................................ 0,8

aTurma: EMC1 T12. P. Parcelar de Cálculo Dif. e Integral I - Pág. 6 de 8 02/06/20173. Considere a função f definida, em R, por2sen(x −9) se x < 3 x−3f(x) = πxsen se x ≥ 3x3.1 (3 valores) Verifique se f é contínua no ponto de abcissa x = 3.Resolução/critério de classificação:22 20sen(x−9)sen(x−9)2xcos(x −9)0lim f(x) = lim = lim = 6×1 = 6= lim′−−− −x→3x→3x→3x→3x−3(x−3) 1π π 3 3lim f(x) = lim xsen = 3 sen =+ +x→3x→3 x 3 2Como lim f(x) 6= lim f(x), conclui-se que limf(x) não existe e, portanto, f não é+ − x→3x→3x→3contínua no ponto de abcissa 3.Calcular lim f(x)................................................................ 2,2−x→3Calcular lim f(x).................................................................0,4+x→3Justificar que f não é contínua em x = 3..........................................0,4

aTurma: EMC1 T12. P. Parcelar de Cálculo Dif. e Integral I - Pág. 7 de 8 02/06/20173.2 (3 valores) Calcule lim f(x).x→+∞Resolução/critério de classificação:()′ππ)( sensenπ0×∞ x x= lim = lim =limf(x) =limxsen()′1x→+∞ x→+∞x→+∞x→+∞x 1x xπ π− cos2 πxx= lim = π × lim cos = π ×1 = π1x→+∞ x→+∞ x2x()πEscrever lim f(x) = lim xsen............................................. 0,2x→+∞ x→+∞ xπ() senπ0×∞ xEscrever lim xsen......................................... 0,4=lim1x→+∞ x→+∞xx()′ππsensenx x=lim............................................ 0,6Escreverlim()′1x→+∞x→+∞1x x()′π ππsen cos−2xx xEscrever lim = lim....................................... 1,4)(′1x→+∞ x→+∞12xxπ π− cos2 πxxEscrever lim = π × lim cos....................................... 0,21x→+∞ x→+∞ x2xConcluir que lim f(x) = π....................................................... 0,2x→+∞

aTurma: EMC1 T12. P. Parcelar de Cálculo Dif. e Integral I - Pág. 8 de 8 02/06/2017senx4. (2 valores) Determine lim (tgx).+x→0Resolução/critério de classificação:00 senxsenxsenx= lnL ⇐⇒= lnL⇐⇒limln(tgx)lim(tgx)=L⇐⇒lnlim(tgx)+++x→0x→0x→0∞()ln (tgx)0×∞ ∞⇐⇒ lim senxln (tgx) = lnL ⇐⇒ lim = lnL ⇐⇒+ +x→0x→0 cosecx2secx′(ln (tgx)) tgx= lnL ⇐⇒= lnL⇐⇒lim⇐⇒lim′+ +x→0x→0(cosecx) −cosecxcotgx2−secx −senx⇐⇒ lim = lnL ⇐⇒ lim = lnL ⇐⇒ 0 = lnL ⇐⇒ L = 12++x→0x→0tgxcosecxcotgxcosx00senxEscrever lim (tgx) = L........................................................... 0,1+x→0senxEscrever ln lim (tgx) = lnL.................................................. 0,2+x→0() 0×∞Obter lim senxln (tgx) = lnL................................................... 0,3+x→0ln (tgx) ∞Escrever lim = lnL.......................................................... 0,2+x→0 cosecx′(ln (tgx))Escrever lim = lnL........................................................ 0,2′+x→0(cosecx)−senxObter lim = lnL..............................................................0,82+x→0xcosxEscrever lnL = 0....................................................................... 0,1Concluir que L = 1.....................................................................0,1FIM