Ficha de Exercícios n.º 1 de Cálculo Diferencial e Integral II: integração definida e integrais impróprios · ISPTEC · 2021

Lista de Exercícios de Cálculo Diferencial e Integral II, do curso de Engenharia Mecânica no Instituto Superior Politécnico de Tecnologias e Ciências (ISPTEC), 2021.

Ficha de exercícios n.º 1 do 2.º semestre de 2021, com 20 grupos: derivada de integrais com limites variáveis, integrais definidos (incluindo por substituição), áreas, volumes de sólidos de revolução, comprimento de arco, aplicações físicas (massa e trabalho) e integrais impróprios. Traz um formulário de derivadas; não tem resolução.

Tipo

Lista de Exercícios

Cadeira

Cálculo Diferencial e Integral II

Curso

Engenharia Mecânica

Universidade

Instituto Superior Politécnico de Tecnologias e Ciências

Ano

2021

Ficheiro

PDF, 14 páginas

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Cálculo Diferencial e Integral IIoFicha de Exercícios n. 1Integração definida e integrais imprópriosoAno lectivo 2021/2. Semestre′1.CalculeF(x), sabendo que:∫ ∫x x3t 22−s1.1 F(x) = x edt1.8F(x) = ds6t + 1−2 0∫ x∫2 1sen(t)dt1.2F(x) = 31.9 F(x) = arctg(t)dt2∫ x24 ∫cos(t)dt1.3F(x) =x2−tx (x−t)e1.10F(x) = dt∫ 2x02sen(t)dt1.4F(x) = ∫2x12∫1.11F(x) =cos(t)dt2x2 senxcos(t)dt1.5F(x) =0 ∫ sent∫ 3 1x1 1.12 F(t) = dx41.6F(x) =dtx + 12t4t + 52x∫ ∫x senx23−s 21.7 F(x) = x e 1.13 F(x) = tg(t)dtdscosx12. Calcule os seguintes limites, se existirem:∫ ()x ∫2senx23t 2t 1 2−te+e−2dte dt2.5lim2x→00x02.1lim3 2 ∫x→0 xx+ 2x() 2∫x sen(t −1)dt2xsent12.2limdt2.6limππ 3πx→x− t x→1 (x −1) sen(x−1)2 2 2∫ ∫x22 ()xtgt−tgt√dt sen t dtt002.3lim2.7lim2x→π 3(x−π)x→0 x∫xarctg(sent)dt02.4 lim2x→0senx

Página 23. Calcule cada um dos seguintes integrais definidos.∫∫7∫ 72 √2 1(7−3x) dx 3.17 x x−3 dx3.1√3.9dx2−1 35 + 4x−x2∫∫∫ 3e1 x dxe2x+ 13.183.10dx3.2dx2x22x + 3x−21−ex+ 1210∫()∫ 3∫e 1 1√13.19 dx1−3.3lnx dxarctanx dx3.112x −x x210∫ π∫∫π 2 3x2 x sinx dx3.20sinx dx3.4√ dx3.12−π2−π4x + 901∫√∫∫221 2233x +1x−3x3.21x2 dx3.5 dx 3.13 dx1√8−x 1 +x 230∫∫ 1π∫ π24x2x 3.22 x e dxe3.14sinx dx3.6sin(2x) cos(2x) dx000∫∫ 1π∫ √e2 25 3.23 (x+ 1−x) dx3.7lnx dx3.15cosxsin(2x)dx0101∫∫∫ 5 41 2 2 x +x −83.24 dx3.8xarctanx dx|1−x|dx3.1633x −4x−1 0 24. Calcule os seguintes integrais definidos, utilizando o método de substituição.∫ ∫4 31 +x x (Sugestão: cosx = t)√√4.1 dxdx4.91 + x π∫x+ 1104√1∫ (Sugestão: x+ 1 = t) 74.17sin(2x) cos(2x) dx4 1 ∫2 1 π−1 dx4.2x12101 x 4.10 x(2x+ 5) dx2 ∫ 1−1 −1(Sugestão:x−1 =t) 1∫√ √4.18 dx1∫e 227x + 2104.11x(5x−3)dx√ dx4.3 ∫2 0 31 x 1−ln x √ 4∫6 x−3 5x(x−1) dx4.19(Sugestão: lnx=t)e√∫4.12 dx 212x1 +e x−34 ∫4.4 dx 33∫4x 3 ln x1 +e10 4.20 dx∫2√√dx4.132x(lnx+ 5 lnx)3 21xx24.5dxπ∫x−x1∫e(e+ 2)−1 2√2 12π∫ 2 4.21 dx4.14x4−xdx6 1 + tan(2x)π sinxcosx −−14.6dx3 ()∫x1−tan(2x)40 (Sugestão: tan = t)1√∫ 22√4.15dx2x −3x 2x+ 1 π∫14.7dx√ 2 1(Sugestão: 2x+ 1 =t)x3 4.22 dxπ∫∫1 3 (1 + sinx) cosx2 01sinx ()x4.8dx4.16dx2 (Sugestão: tan = t)2x−4x+ 55−sinx0 0 2

Página 35. As regiões sombreadas seguintes são limitadas pelas curvas indicadas. Para cada região, calculea área por projecção sobre o eixo das abcissas.

Página 46. Calcule a área das regiões sombreadas por projecção sobre o eixo das ordenadas.1 27. Considere a função f definida, em R, por f(x) = 1− x. Calcule a área da região limitada pelo4gráfico de f, o eixo Ox e as retas de equações x = −4 e x = 2.19e a curva y =, com x > 2. Seja D a região8.Considere reta de equaçãoy=−x+2 x−2compreendida entre a recta e a curva. Determine a área de D.9. Considere a região R limitada pelo eixo Ox, pelo gráfico da função definida por y = x e pelarecta de equação x = 4. Determine a área de R.10. Determine a área da região limitada pelas curvas dadas.2 210.1y= 2xex = 2y 10.7 y = senx e y = −senx, x ∈ [0,2π]−x210.8y=e, y = x+ 1 e x = −110.2y= 5−xey=x+ 32 2210.9y= 4−xex −1410.3y = 1−x e y = −32x10.10x=y + 1 e x+y = 710.4 y = e, x = 0, x = 1 e y = 0π10.11 y = arcsenx, y = e x = 0310.5x=yex=y2x210.12 x = y e y = −10.6y= lnx,y= 0 ex= 42

Página 511. Determine o volume do sólido de revolução gerado por rotação da região R em torno do eixoOx.

Página 612. Determine o volume do sólido de revolução gerado por rotação da região R em torno do eixoOy.13. Recorrendo ao integral definido, calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação,em torno do eixo indicado, da região R limitada por:13.1 y = 2x, x = 3 e y = 0 (rotação em torno do eixo Ox);Nota: Verifique o resultado usando a fórmula do volume do cone.13.2 y = sinx, x = 0, x = π e y = 0 (rotação em torno do eixo Ox);313.3y=x, x = 2 e y = 0 (rotação em torno do eixo Oy);24−y e x = 0 (rotação em torno do eixo Oy).13.4x=Nota: Verifique o resultado usando a fórmula do volume da esfera.14. Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação das regiões indicadas, em redordos eixos dados.14.1 Região limitada por: y = 2x−1, y = 0, x = 0 e x = 4Eixo de rotação: eixo Ox214.2Região limitada por:y = 2x, y = 0, x = 0 e y = 2Eixo de rotação: eixo Oy214.3Região limitada por:y= 2x, y = 2, x = 1 e x = 2Eixo de rotação: recta de equação y = 22 214.4Região limitada por:x=y,x= 2−yEixo de rotação: eixo Oy2 214.5Região limitada por:y=x+x,y=x −1 e x = 0Eixo de rotação: recta de equação y = 13 214.6 Região limitada por: y = x e y = 4Eixo de rotação: recta de equação x = −9

Página 7214.7Região limitada por:y = 16x e y = 4xEixo de rotação: eixo Ox214.8Região limitada por:y= 1−x, x = −2,x = 2 e y = 2Eixo de rotação: recta de equação y = 2214.9Região limitada por:y=x + 3, x = −2,x = 2 e y = 2Eixo de rotação: recta de equação y = 214.10 Região limitada por: y = cosx, y = −2,x = 0 e x = 2πEixo de rotação: recta de equação y = −215. Determine o comprimento do arco L da curva:315.1f(x) =x de x = 0 até x = 5;3 215.2y= 8x de x = 1 até x = 8;415.36xy=x + 3 de x = 1 até x = 2;1 1215.4 y = x − lnx de x = 1 até x = e;2 4π π15.5 f(x) = ln(cosx) de x = até x =.6 4DEFINICAO (Massa de um objecto unidimensional)Suponha que uma barra fina é representada por um segmento de recta no intervalo [a, b],com função densidade ρ (em unidade de massa por unidade de comprimento). A massa do∫bobjecto é m = ρ(x)dx.a16. Uma barra fina é feita de uma liga cuja densidade, em Kg/m é dada por ρ(x). Determina amassa da barra, sabendo que:216.1ρ(x) = 1 + sinx,0≤x≤π16.3ρ(x) =x2−x, 0 ≤ x ≤ 1x216.2ρ(x) = 2−,0≤x≤216.4ρ(x) = 1 +x, 0 ≤ x ≤ 22DEFINICAO (Trabalho de uma força variável)O trabalho realizado por uma força F variável para mover um objecto, ao longo de uma∫brecta de x = a até x = b, na direcção da força é W = F(x)dx.a17. Um objecto é movido de uma posição x = 0 para outra x = 3 (em metros), por uma forçaF(x) = 2x (em Newton), que actua na direção do eixo x. Qual é o trabalho realizado pela força?18. Um objecto é movido de uma posição x = 1 para outra x = 3 (em metros), por uma força2F(x) = (em Newton), que actua na direção do eixo x. Qual é o trabalho realizado pela força?2x

Página 819. Determine o trabalho realizado por uma força dada por F(x) = 100x (em Newton), para esticaruma mola x = 0,25metros da sua posição de equilíbrio.20. Calcule, se possível, cada um dos seguintes integrais impróprios. Classifique os integrais.√∫ ∫ 1+∞0xxedx20.1 20.13 dx3x+ 1x1−1+∞2x23−x20.2 dx x e dx20.142x + 1−∞ 0∫ ∫2+∞1 120.3 dx √20.15 dx2x −4x+ 30 x lnx−1e∫ ∫02x 120.4 dx √ dx20.164x + 1−∞ 2−x 0+∞1 1√20.5 dx √20.17 dx√ 2x x −12 x x−1121 120.6 dx dx20.182x + 2x+ 5 (x−1)(x−3)∫ ∫32+∞x x√ dx20.7 20.19 dx3 3x−1(x+ 1)1 00 3x1e20.8 dx √20.20 dx3 3xx+x1 1−e−∞+∞1 120.9 dx, ∀n ∈ N dx20.21n 2x1 2x + 8x+ 10−2∫ 1 ∫lnx dx20.10 20.22 xsinx dx0 0e1−xesinx dx20.11√20.23 dx30 x lnx 111 1√20.12 dx√ 20.24 dx, ∀n ∈ N2 23 nx4x+ 1x6 0

Página 9Tabela de derivadasSejam a e n constantes reais e u e v funções de x.′1.a = 0′2.x = 1n ′ ′ n−13. (u)=nuu, n ∈ Ru ′ ′ u +4. (a)=ualna, a∈R \ {1}v ′ ′ v−1 ′ v5. (u)=uvu+vulnu′u+′, a∈R \ {1}6. (logu)=aulna′ ′ ′7. (u+v)=u+v′ ′ ′8. (uv)=uv+uv() ′ ′′uuv−uv=9.2vv′ ′10. (senu)=ucosu′ ′11. (cosu)=−usenu′ ′ 212. (tgu)=usecu′ ′ 213. (cotgu)=−ucosecu′ ′14. (secu)=usecutgu′ ′15. (cosecu)=−ucosecucotgu′u′16. (arctgu) =21 +u′u′17. (arccotgu) = −21 +u′u′ √18. (arcsenu)=21−u′u′ √19. (arccosu)=−21−u′u′ √20. (arcsecu)=, |u| > 12|u|u −1′−u′ √21. (arccosecu)=, |u| > 12|u|u −1

Página 10Tabela de integrais imediatosSejam u e v funções de x e C ∈ R.1. 0dx = C2. dx = x+C∫ n+1u′n+C, n ∈ R∧n 6= −13.uudx=n+ 1∫ ua′u +4. ua dx = +C, a ∈ R \ {1}lna′ u u5. ue dx = e +Cu6. dx = ln|u|+Cu7. u senudx = −cosu+C8. u cosudx = senu+C′ 29. u sec udx = tgu+C′ 210. u cosec udx = −cotgu+C11. u secutgudx = secu+C12. u cosecucotgudx = −cosecu+Cu13. dx = arctgu+C21 +uu√14. dx = arcsenu+C21−uu√15. dx = arcsecu+C2uu −116. u secudx = ln|secu+ tgu|+C17. u cosecudx = −ln|cosecu+ cotgu|+C

Página 11Soluções1.∫ x3x 2 2−s2−x1.1 e ds+x e1.82x6x + 1021.2sen(x)31.9−arctg(x)4 ∫1.3−cos(x)x2−te dt1.1041.42xsen(x)02 2 21.52 cos(4x)1.112 cos(4x)−cos(sen x) cosx2 2x3xcost 2t−1.612 8 −1.12x+ 5x+ 54 8∫1 + sentt + 1x2 22−s3−x1.7 3x e ds+x e 2 21.13cosxtg(senx) + senxtg(cosx)12.1 12.1 2.42 22.5 12.2 2 12.6312.3 − 2.7 Não existe2π3.π33 43.7 1 3.133.1 3.19 ln162 3π−22π3.8π 31 +e3.20 2π −12π23.2+ ln 23.144 π 53.9 3.21 01263.3()3.15 e−12e−1 73.223.10lne3.4π 23.161e−1π + 21443π−23.233.173.51−π3.1145621 1 1 4 73 213.6 3.18 ln 3.24 − + 3 ln 3.124 2 5 3 12 54.2 −21716arctan(e)−arctan(e)4.1 + ln 4.4 1 +3 81 24−π −3 34.296 ()1 2e−1π4.5 log4.322 2e −16

Página 121 2 31 +√4.6ln √4.15ln2 −1 + 3 −2 + 2 36− 3π 4.16 π −24.76 255π 4.174.8 − + arctan 2 40964 ()√1 + 38√4.18ln4.93 24 ()√554.10−4.1964 16−23441 1261261 7 74.11 − 4.20 − + 25 ln16 2 63 √4.122e−2e ()√2√ √ 4.21 ln 2 2 + 36 624.1363−621 14.22 + ln 34.14π6 45.29(a) 6(e) 2− 2(g)e −1(c)2 √1 8π + 3 53 5 1(b) (d) (f) (h) −2 6 2 2 ln 281 28 519(b) (c) (d)6.(a)6 2 3 1216 15 167. 8. −ln 4 9.3 8 310.4 2e−310.4e−1 10.11 110.1 10.83 21 410.5 10.1292 310.210.9722 10.6 −3 + 8 ln 232 12510.3 10.1010.783 62 5π4ππ11. (a) (e) (c)3 6415π 32π(b) (d) (f) 48π32 3π 412. (a) 54π (b) (e −1)213.

Página 132 64π 32ππ13.1 36π 13.3 13.413.25 3214.152π 3π 8π 412π172π14.3 14.5 14.7 14.914.13 15 2 3 158π 16π 2304π 412π214.214.414.614.814.109π5 3 5 1515.335 17 6 3 + 3 615.1 15.3 √15.5ln27 12√ 9 2104 113−125 1215.2 15.4 e −27 2 416.1422−116.1(π+ 2)Kg16.23 Kg16.4 Kg16.3Kg33417.9 Joule 19. 3,125 Joule18. Joule320.√120.1 Divergente. 20.16 2 2. Convergente.20.9sen >1 en−1Convergente. 20.17 π. Convergente.20.2Divergente.Divergente se n = 1 20.18 Divergente.20.3 Divergente.20.10 −1. Convergente.π 20.19 Divergente.20.4 −. Convergente.14 220.11. Convergente.π 20.20. Convergente.220.5. Convergente. 34 20.12 2. Convergente. π20.21. Convergente.π2 4 20.6. Convergente.20.13 −. Convergente.2 20.22Divergente.e√2 26 1 320.7. Convergente. 20.14. Convergente. 20.233 2 220.8 ln 2. Convergente. 20.24 Divergente20.15Divergente

Página 14Referênciasa[1] Diva Flemming e Mirian Gonçalves.Cálculo A, 6. Edição. Pearson. São Paulo, 2006.[2] João Paulo Santos. Cálculo Numa Variável Real. IST Press. Lisboa, 2012.[3] Ana Castro, Ana Viamonte e António Sousa. Cálculo I - Conceitos Exercícios e Aplicações.Publindústria, Edições Técnicas. Porto, 2013.[4] William Briggs, Lyle Cochran e Bernard Gillett. Calculus for Scientists and Engineers. PearsonEducation, 2013[5] Ana Alves de Sá e Bento Louro. Cálculo Diferencial e Integral em R – Exercícios Resolvidos.Volume 3. Matcubo, Lda. Lisboa, 2016.