1.ª Prova Parcelar de Cálculo Diferencial e integral I, do curso de Engenharia Mecânica no Instituto Superior Politécnico de Tecnologias e Ciências (ISPTEC), 2017. Docente: Prof. José Maria Samuco.
Prova parcelar com cinco questões sobre funções reais, limites, continuidade e composição de funções. Inclui estudo de domínio, funções inversas, paridade, cálculo de limites sem regra de L'Hospital, e demonstração de continuidade. Duração de 150 minutos.
1.ª Prova ParcelarDuração: 150 minutosDisciplinaCálculo Diferencial e Integral ILicenciatura em Engenharia Mecânica Data: 03/05/2017CursoJosé Maria Samuco Turma: EMC1 M1DocenteNome do aluno N.º:• Na resposta a cada questão proposta, apresente todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificaçõesnecessárias.• Responda com uma esferográfica de tinta indelével, de cor preta ou azul.• Não é permitido o uso de calculadora nem de corrector.• Identifique as suas respostas com o número apresentado no enunciado. As respostas não identificadas serãoclassificadas com zero valores.• Apresente a sua resposta, a cada uma das oito questões propostas, em páginas diferentes da folha derespostas, preservando a ordem.• Na resolução das questões que envolvem o cálculo de limites, não é permitido o uso da regra de L’Hospital/regrade Cauchy nem o uso de infinitésimos equivalentes. O não cumprimento desta norma, implica a atribuiaçãode zero valores a todas as etapas que dependam da aplicação das regras atrás referidas.1. Considere a função injectiva f, definida por f(x) = 4 + 4 arcsen(4x+ 4).1.1 (2 valores) Determine o domínio da função f.Apresente o resultado sob a forma de intervalo de números reais.Resolução/critério de classificação:Escrever D = {x ∈ R: −1 ≤ 4x+ 4 ≤ 1}......................................... 0,8fEscrever D = {x ∈ R: −5 ≤ 4x ≤ −3}........................................... 0,5f{}5 3Escrever D = x ∈ R: − ≤ x ≤ −.......................................... 0,5f4 4[]5 3Escrever D = −,−..........................................................0,2f4 4
aTurma: EMC1 M1 - 1. Prova Parcelar de Cálculo Dif. e Integral I - Pág. 2 de 5 03/05/2017−11.2(3 valores) Determinef(x), expressão analítica da função inversa de f.Resolução/critério de classificação:Escrever y = 4 + 4 arcsen(4x+ 4).................................................. 0,2y −4..................................................... 0,6Obter arcsen(4x+ 4) =4)(y −4.................................................... 1,4Escrever 4x+ 4 = sen4()1 y −4Obter x = −1 + sen.................................................... 0,64 4 ()1 x−4−1Concluir que f (x) = −1 + sen....................................... 0,24 41−cosx2. Considere a função h definida, em R\ {0}, por h(x) =.2x2.1 (2 valores) Estude a paridade da função h, verificando se a função é par, ímpar ou nem parnem ímpar.Resolução/critério de classificação:1−cos(−x).................................................... 0,5Escreverh(−x) =2(−x)1−cosxEscrever h(−x) =.............................................. 1(0,8 + 0,2)2xEscrever h(−x) = h(x), ∀x ∈ R\ {0}.............................................. 0,2Concluir que h é uma função par................................................. 0,32.2 (3 valores) Calcule limh(x).x→0Resolução/critério de classificação:2(1−cosx)(1 + cosx)1−cosx1−cosx= limlimh(x) = lim = lim =2 2 2x→0x→0x→0x→0xx(1 + cosx)x(1 + cosx)()22senxsenx 1 1 12lim = lim × lim = 1 × =2x→0 x→0 x→0x(1 + cosx) x 1 + cosx 1 + 1 2Levantar a indeterminação........................................................ 1,6senxAplicar o limite fundamental lim = 1........................................ 0,4x→0 x1 1Escrever lim =........................................................ 0,5x→0 1 + cosx 21−cosxObter lim............................................................... 0,52x→0xaTurma: EMC1 M1 - 1. Prova Parcelar de Cálculo Dif. e Integral I - Pág. 3 de 5 03/05/20173. Seja g a função, de domínio R\ {−2}, definida por2− x+ 4se x > 0xg(x) =2x + 5x+ 6 se x ≤ 02x −x−63.1 (3 valores) Calcule lim g(x).x→−2Resolução/critério de classificação:2x + 5x+ 6 (x+ 2)(x+ 3) x+ 3 −2 + 3 1lim g(x) = lim = lim = lim = = −2x→−2x→−2 x→−2 x→−2x−x−6(x+ 2)(x−3) x−3 −2−3 5Levantar a indeterminação........................................................ 2,4Obter lim g(x).................................................................. 0,6x→−23.2 (3 valores) Verifique se g é contínua no ponto x = 0.Resolução/critério de classificação:2− x+ 4 (2− x+ 4)(2 + x+ 4)√limg(x) = lim= lim =+ + +x→0x→0x→0x x(2 + x+ 4)2 22−( −x −1 1x+ 4) 1√ √ √ √= lim= lim= lim=− = −+ + +x→0x→0x→0 4x(2 +x+ 4) x(2 +x+ 4) 2 +x+ 4 2 +42 0 + 5×0 + 6x+ 5x+ 6= = −1limg(x) = lim2−−x→0x→0x −x−6 0−0−6Como lim g(x) 6= lim g(x), conclui-se que limg(x) não existe, pelo queg não é contínua− + x→0x→0x→0em x = 0.g(x).......................................... 1,8Levantar a indeterminação emlim+x→01Concluir que lim g(x) = −...................................................... 0,6+x→0 4Calcular lim g(x) ou g(0)......................................................... 0,2−x→0Concluir que f não é continua em x = 0.......................................... 0,4
aTurma: EMC1 M1 - 1. Prova Parcelar de Cálculo Dif. e Integral I - Pág. 4 de 5 03/05/20174. (2 valores) Sejam f e g duas funções reais de variável real.Sabe-se que:1;•a funçãogé definida porg(x) =2x −1• o domínio da função f é R\ {1}.Determine o domínio da função f ◦g.Apresente o domínio sob a forma de reunião de intervalos de números reais.Resolução/critério de classificação:Escrever D = R\ {−1; 1}............................................................. 0,6gEscrever D = {x ∈ D: g(x) ∈ D }.................................................. 0,2f◦ggf1Escrever D = x ∈ R\ {−1; 1}: ∈ R\ {1}................................. 0,2f◦g2x −11 2Escrever = 1 ⇐⇒ x −1 = 1................................................... 0,22x −12Escreverx −1 = 1 ⇐⇒ x = 2∨x = − 2........................................... 0,42∧x 6= 2............................... 0,2EscreverD=x∈R\ {−1; 1}:x6=−f◦gEscrever D =]− ∞,− 2[∪]− 2,−1[∪]−1,1[∪]1, 2[∪] 2,+∞[................... 0,2f◦g5. (2 valores) Seja f uma função real de variável real, de domínio D.Considere que:• a ∈ D;f(x)−f(a)• lim = m (m ∈ R).x→a x−aMostre que f é continua no ponto a.f(x)−f(a)Sugestão: Comece por escrever f(x) em função do quociente.x−a
aTurma: EMC1 M1 - 1. Prova Parcelar de Cálculo Dif. e Integral I - Pág. 5 de 5 03/05/2017Resolução/critério de classificação:f(x)−f(a)limf(x) = lim (x−a) +f(a) = m×0 +f(a) = f(a)x→a x→a x−aLogo, f é continua em x = a.f(x)−f(a)Escrever limf(x) = lim ×(x−a) +f(a).............................. 1,2x→a x→a x−af(x)−f(a)Escrever lim ×(x−a) +f(a) = m×0 +f(a)......................... 0,6x→a x−aConcluir que limf(x) = f(a).......................................................... 0,2x→aFIM