2.ª Prova Parcelar de Cálculo Diferencial e Integral I, turma EMC1 M1 (com resolução) · ISPTEC · 2017

2.ª Prova Parcelar de Cálculo Diferencial e integral I, do curso de Engenharia Mecânica no Instituto Superior Politécnico de Tecnologias e Ciências (ISPTEC), 2017. Docente: Prof. José Maria Samuco.

Enunciado da 2.ª prova parcelar, de 05/06/2017, com resolução e critérios de classificação. Tem 4 questões: assíntota horizontal e concavidades com logaritmos, monotonia e derivada pela definição do cosseno hiperbólico, continuidade e limite (1+x)^(cotg x) de uma função por ramos, e recta tangente a uma elipse por derivação implícita.

Tipo

2.ª Prova Parcelar

Cadeira

Cálculo Diferencial e integral I

Curso

Engenharia Mecânica

Universidade

Instituto Superior Politécnico de Tecnologias e Ciências

Ano

2017

Docente

Prof. José Maria Samuco

Ficheiro

PDF, 8 páginas

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2.ª Prova ParcelarDuração: 120 minutosDisciplinaCálculo Diferencial e Integral ILicenciatura em Engenharia Mecânica Data: 05/06/2017CursoJosé Maria Samuco Turma: EMC1 M1DocenteNome do aluno N.º:• Na resposta a cada questão proposta, apresente todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificaçõesnecessárias.• Responda com uma esferográfica de tinta indelével, de cor preta ou azul.• Não é permitido o uso de calculadora nem de corrector.• Identifique as suas respostas com o número apresentado no enunciado. As respostas não identificadas serãoclassificadas com zero valores.• Apresente a sua resposta, a cada uma das questões propostas, em páginas diferentes da folha de respostas,preservando a ordem.• Na resolução das questões que envolvem o cálculo de limites, não é permitido o uso de infinitésimosequivalentes. O não cumprimento desta norma, implica a atribuiação de zero valores a todas as etapas quedependam da aplicação dos infinitésimos equivalentes.

aTurma: EMC1 M12. P. Parcelar de Cálculo Dif. e Integral I - Pág. 2 de 8 05/06/20171. Sejam f e h duas funções reais de varável real.Considere que:• a função h é definida, em ]3,+∞[, por h(x) = ln(x−3)−lnx;+•fé a função, de domínioR, definida por f(x) = (x+ 1) lnx.1.1 (3 valores) Determine uma equação da assíntota horizontal do gráfico da função h.Resolução/critério de classificação:Como a assíntota é horizontal, o seu declive é m = 0.A ordenada na origem é3x−3+∞−∞∞1− = ln (1−0) = 0=limlnb=limln(x−3)−lnx=limlnx→+∞x→+∞x→+∞x xA recta de equação y = 0 é assíntota horizontal do gráfico da função h.Escrever b = lim ln(x−3)−lnx............................................. 0,1x→+∞x−3Escrever lim ln(x−3)−lnx = lim ln.................................. 1x→+∞ x→+∞ x3x−31−Escreverlimln=limln.......................................... 1x→+∞ x→+∞x x3= 0....................................................0,6Escreverlimln1−x→+∞ xConcluir que a recta de equação y = 0 é assíntota horizontal do gráfico de h....... 0,3

aTurma: EMC1 M12. P. Parcelar de Cálculo Dif. e Integral I - Pág. 3 de 8 05/06/20171.2 (3 valores) Estude a função f quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quantoa existència de pontos de inflexão.Resolução/critério de classificação:A derivada da função f é definida porf (x) = (x+ 1) lnx+ (x+ 1)(lnx)x+ 1′f (x) = lnx+xA segunda derivada da função h é definida porx+ 1′′′f (x) = (lnx) +x′ ′x(x+ 1)1−(x+ 1)x+f(x)=2xx1 x−(x+ 1)′′f (x) = +2xxx−1′′f (x) =2xx−1 2′′= 0 ⇐⇒ x−1 = 0∧x 6= 0 ⇐⇒ x = 1.f(x) = 0⇐⇒2xx 0 1 +∞f´n.d. – 0 +f n.d. P.I. O gráfico da função f tem concavidade voltada para baixo no intervalo ]0,1[.O gráfico da função h tem concavidade voltada para cima no intervalo ]1,+∞[.O ponto de coordenadas (1,0) é ponto de inflexão do gráfico da função f.′Calcularf(x)..................................................................... 0,5′′Calcularf(x).................................................................... 0,5′′Resolver a equaçãof(x) = 0...................................................... 0,6′′Apresentar uma tabela de sinal def e sentido de concavidade de f............... 0,8Indicar o intervalo onde o gráfico de f tem concavidade voltada para baixo........0,2Indicar o intervalo onde o gráfico de f tem concavidade voltada para cima........ 0,2Indicar as coordenadas do ponto de inflexão do gráfico de f....................... 0,2

aTurma: EMC1 M12. P. Parcelar de Cálculo Dif. e Integral I - Pág. 4 de 8 05/06/2017x −xe+e2. Considere a função g definida, em R, por g(x) =.22.1 (3 valores) Estude a função g quanto à monotonia e quanto à existência de extremos rela-tivos.Resolução/critério de classificação:A derivada da função g é definida porx −xe−eg (x) =2x −xe−e′ x −x x −xg(x) = 0⇐⇒= 0⇐⇒e−e= 0⇐⇒e=e ∧x 6= 0 ⇐⇒ x = 0.20 +∞x∞g 0 +g MínA função g é decrescente no intervalo [0,+∞[.A função g é crescente no intervalo ]−∞,0].O ponto de coordenadas (0,1) é ponto de mínimo relativo da função g, sendo o mínimoigual a 1.′Calcularg(x)..................................................................... 0,4′Resolver a equaçãog(x) = 0...................................................... 0,6′Apresentar uma tabela de sinal deg e monotonia de g............................ 1,4Indicar o intervalo onde a função g crescente...................................... 0,2Indicar o intervalo onde a função g decrescente....................................0,2Indicar o mínimo relativo de g.................................................... 0,2

aTurma: EMC1 M12. P. Parcelar de Cálculo Dif. e Integral I - Pág. 5 de 8 05/06/2017′2.2(3 valores) Calculeg(0), usando a definição.Resolução/critério de classificação:g(x)−g(0)′g (0) = limx→0 x−0x −xe+e−12=limx→0 x−0x −xe+e −2= limx→0 2xx −x1e+e −2= limx→02 x()x −1 xe−1(e) −11lim + =x→02 x x()1−1= × lne+ lne2= 0g(x)−g(0)′................................................... 0,4Escreverg(0) = limx→0 x−1x −xe+e−12′................................................. 0,2Escreverg(0) = limx→0 xLevantar a indeterminação........................................................ 1,6′Obterg(0)........................................................................ 0,8

aTurma: EMC1 M12. P. Parcelar de Cálculo Dif. e Integral I - Pág. 6 de 8 05/06/20173. Considere a função f definida, em ]0,+∞[, por πcotgx(1 +x) se 0 < x ≤ 2f(x) =1−senx π se x > πx− 22π.3.1(3 valores) Verifique sefé contínua no ponto de abcissax=2Resolução/critério de classificação:0 1−senx1−senx −cosx π0lim f(x) = lim = −cos = 0=lim=lim()′ππ+ + + +ππππx− 1 2x→ x→ x→ x→(())()()2x−22222π()()cotgππ2f = 1 + = 12 2()π πf(x) 6= f, conclui-se que f não é contínua no ponto de abcissa.Comolim+π 2 2x→)(2()πCalcular lim f(x) ou f................................................... 0,4−π 2x→()2f(x).............................................................. 2,2Calcularlim+πx→()2πJustificar que f não é contínua em x =......................................... 0,42

aTurma: EMC1 M12. P. Parcelar de Cálculo Dif. e Integral I - Pág. 7 de 8 05/06/20173.2 (3 valores) Calcule lim f(x).+x→0Resolução/critério de classificação:∞1cotgx cotgx= lnL ⇐⇒lim(1 +x)=L⇐⇒lnlim(1 +x)+ +x→0x→0cotgx= lnL ⇐⇒⇐⇒limln1 +x)+x→00()ln (1 +x)0×∞ 0⇐⇒ lim cotgxln (1 +x) = lnL ⇐⇒ lim = lnL ⇐⇒+ +x→0x→0 tgx1′(ln (1 +x))1 +x⇐⇒lim = lnL ⇐⇒ 1 = lnL ⇐⇒ L = e= lnL⇐⇒lim′ 2++x→0x→0(tgx)secx∞1cotgxEscrever lim (1 +x) = L.................................................... 0,1+x→0cotgxEscrever ln lim (1 +x) = lnL............................................ 0,2+x→0() 0×∞Obter lim cotgxln (1 +x) = lnL............................................ 0,3+x→0ln (1 +x) ∞= lnL.................................................... 0,2Escreverlim+x→0 tgx′(ln (1 +x))Escrever lim = lnL.................................................. 0,2′+x→0(tgx)11 +xObterlim = lnL.......................................................... 1,82+x→0secxEscrever lnL = 1.................................................................. 0,1Concluir que L = e................................................................ 0,1

aTurma: EMC1 M12. P. Parcelar de Cálculo Dif. e Integral I - Pág. 8 de 8 05/06/20172 2xy4. (2 valores) Seja + = 1 a equação de uma elipse.2 2abConsidere que:• a e b são constantes reias não nulas;• a equação da elipse define implicitamente y como função de x;• r é a recta tangente à elipse no ponto de coordenadas (α, β).βyαx+ = 1 é uma equação da recta r.Mostre que2 2abResolução/critério de classificação:A derivada da função é dada por2 2 ′ 2xy2x2yybx+ = 1 ⇐⇒ + = 0 ⇐⇒ y = −2 2 2 2 2ababay2bα′∣ = −O declive da recta tangente éy.2∣(α,β)aβUma equação da recta tangente é2 2 22bαbαbα2 2 2 2 2 2(x−α) ⇐⇒ y = − x+ +β ⇐⇒ a βy = −b αx+b α +β a ⇐⇒y−β=−2 2 2aβaβ aβ2 2aβy+bαx2 2 2 2 2 2 2 2 2 2⇐⇒ a βy +b αx = b α +β a ⇐⇒ a βy +b αx = a b ⇐⇒ = 1 ⇐⇒2 2abβyαx+ = 1⇐⇒2 2ab2 2xy′............................................................. 0,2Escrever+= 12 2ab′2x2yyEscrever + = 0............................................................... 0,62 2ab2bx′Escrevery = −....................................................................0,22ay2bαEscrever y −β = − (x−α)........................................................ 0,22aβαx βyObter + = 1................................................................... 0,82 2abFIM