2.ª Prova Parcelar de Cálculo Diferencial e Integral I, turma ECV1 T1 · ISPTEC · 2016

2.ª Prova Parcelar de Cálculo Diferencial e integral I, do curso de Engenharia Civil no Instituto Superior Politécnico de Tecnologias e Ciências (ISPTEC), 2016. Docente: Prof. José Maria Samuco.

Segunda prova parcelar de Cálculo Diferencial e Integral I com duração de 120 minutos, realizada em 01/06/2016. Contém três questões resolvidas sobre estudo de funções (derivação, monotonia, concavidades, pontos de inflexão e continuidade), com critérios de classificação detalhados. Inclui resolução completa com justificações e cálculos passo a passo.

Tipo

2.ª Prova Parcelar

Cadeira

Cálculo Diferencial e integral I

Curso

Engenharia Civil

Universidade

Instituto Superior Politécnico de Tecnologias e Ciências

Ano

2016

Docente

Prof. José Maria Samuco

Ficheiro

PDF, 8 páginas

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2.ª Prova ParcelarDuração: 120 minutosDisciplinaCálculo Diferencial e Integral ILicenciatura em Engenharia Civil Data: 01/06/2016CursoJosé Maria Samuco Turma: ECV1 T1DocenteNome do aluno N.º:• Na resposta a cada questão proposta, apresente todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificaçõesnecessárias.• Responda com uma esferográfica de tinta indelével, de cor preta ou azul.• Não é permitido o uso de calculadora nem de corrector.• Identifique as suas respostas com o número apresentado no enunciado. As respostas não identificadas serãoclassificadas com zero valores.• Apresente a sua resposta, a cada uma das questões propostas, em páginas diferentes da folha de respostas,preservando a ordem.• Na resolução das questões que envolvem o cálculo de limites, não é permitido o uso de infinitésimosequivalentes. O não cumprimento desta norma, implica a atribuiação de zero valores a todas as etapas quedependam da aplicação dos infinitésimos equivalentes.

aTurma: ECV1 T12. P. Parcelar de Cálculo Dif. e Integral I - Pág. 2 de 8 01/06/2017x1.Sejaha função definida, emR, porh(x) = (2x+ 2)e.1.1 (3 valores) Determine a equação reduzida da recta tangente ao gráfico da funçãoh, no pontode abcissa x = 0.Resolução/critério de classificação:A derivada da função h é definida por′ ′ x x ′h(x) = (2x+ 2)e + (2x+ 2)(e)′ x xh(x) = 2e + (2x+ 2)e′ xh(x) = (2x+ 4)e′ 0O declive da recta tangente éh(0) = (2×0 + 4)×e = 4.0 = 2.Um ponto da recta tangente ao gráfico dehé (0,h(0)), sendoh(0) = (2×0 + 2)×eLogo, a equação reduzida da recta tangente é y = 4x+ 2.′Calcularh(x)....................................................................... 1′Calcularh(0)..................................................................... 0,8Calcular h(0)...................................................................... 0,2Escrever a equação reduzida da recta tangente...................................... 1

aTurma: ECV1 T12. P. Parcelar de Cálculo Dif. e Integral I - Pág. 3 de 8 01/06/20171.2 (3 valores) Estude a função h quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quantoa existència de pontos de inflexão.Resolução/critério de classificação:A derivada da função h é definida por′ ′ x x ′h(x) = (2x+ 2)e + (2x+ 2)(e)′ x xh(x) = 2e + (2x+ 2)e′ xh(x) = (2x+ 4)eA segunda derivada da função h é definida por′′ ′ x x ′h (x) = (2x+ 4)e + (2x+ 4)(e)′′ x xh (x) = 2e + (2x+ 4)e′′ xh (x) = (2x+ 6)e′′ x xh(x) = 0⇐⇒(2x+ 6)e= 0⇐⇒2x+ 6 = 0∨e = 0 ⇐⇒ 2x+ 6 = 0 ⇐⇒ x = −3.x –∞ –3 +∞h´ – 0 +h P.I. O gráfico da função h tem concavidade voltada para baixo no intervalo ]− ∞,−3[.O gráfico da função h tem concavidade voltada para cima no intervalo ]−3,+∞[.)(4O ponto de coordenadas −3,− é ponto de inflexão do gráfico da função h.3e′Calcularh(x)..................................................................... 0,5′′(x).....................................................................0,5Calcularh′′Resolver a equaçãoh(x) = 0...................................................... 0,6′′Apresentar uma tabela de sinal deh e sentido de concavidade de h............... 0,8Indicar o intervalo onde o gráfico de h tem concavidade voltada para baixo........0,2Indicar o intervalo onde o gráfico de h tem concavidade voltada para cima........ 0,2Indicar as coordenadas do ponto de inflexão do gráfico de h....................... 0,2

aTurma: ECV1 T12. P. Parcelar de Cálculo Dif. e Integral I - Pág. 4 de 8 01/06/20172. Considere a função g definida, em ]0,+∞[, por g(x) = 2x−lnx.2.1 (3 valores) Estude a função g quanto à monotonia e quanto à existência de extremos rela-tivos.Resolução/critério de classificação:1′A derivada da função g é definida por g (x) = 2−.x2x−1 11′= 0 ⇐⇒ = 0 ⇐⇒ 2x−1 = 0∧x 6= 0 ⇐⇒ x =.g(x) = 0⇐⇒2−x x 2x 0 0,5 +∞0 +n.d.2x1x n.d. + + +g 0 +n.d.g n.d. Min1A função g é crescente no intervalo,+∞.2] ]10,A funçãogé decrescente no intervalo.2)(1é ponto de mínimo relativo da função g, sendo o,1 + ln 2O ponto de coordenadas2mínimo igual a 1 + ln 2.′Calcularg(x)..................................................................... 0,4′Resolver a equaçãog(x) = 0...................................................... 0,6′Apresentar uma tabela de sinal deg e monotonia de g............................ 1,4Indicar o intervalo onde a função g crescente...................................... 0,2Indicar o intervalo onde a função g decrescente....................................0,2Indicar o mínimo relativo de g.................................................... 0,2

aTurma: ECV1 T12. P. Parcelar de Cálculo Dif. e Integral I - Pág. 5 de 8 01/06/2017′2.2(3 valores) Calculeg(1), usando a definição.Resolução/critério de classificação:g(x)−g(1)′g (1) = limx→1 x−12x−lnx−2= limx→1 x−1()2x−2 lnx= lim −x→1 x−1 x−1lnx= 2− limx→1 x−1y= 2− limyy→0e −11= 2− lim ye −1y→0y1= 2−1= 1g(x)−g(1)′................................................... 0,4Escreverg(1) = limx→1 x−12x−lnx−2′Escrever g (1) = lim................................................. 0,2x→1 x−1Levantar a indeterminação........................................................ 1,6′Obterg(1)........................................................................ 0,8

aTurma: ECV1 T12. P. Parcelar de Cálculo Dif. e Integral I - Pág. 6 de 8 01/06/20173. Considere a função f definida, em R, por2sen(x −4) se x < 2 x−2f(x) = πxsen se x ≥ 2x3.1 (3 valores) Verifique se f é contínua no ponto de abcissa x = 2.Resolução/critério de classificação:22 20sen(x−4)sen(x−4)2xcos(x −4)0lim f(x) = lim = lim = 4×1 = 4= lim′−−− −x→2x→2x→2x→2x−2(x−2) 1()π πlim f(x) = lim xsen = 2 sen = 2+ +x→2x→2 x 2Como lim f(x) 6= lim f(x), conclui-se que limf(x) não existe e, portanto, f não é+ − x→2x→2x→2contínua no ponto de abcissa 2.Calcular lim f(x)................................................................ 2,2−x→2Calcular lim f(x).................................................................0,4+x→2Justificar que f não é contínua em x = 2..........................................0,4

aTurma: ECV1 T12. P. Parcelar de Cálculo Dif. e Integral I - Pág. 7 de 8 01/06/20173.2 (3 valores) Calcule lim f(x).x→+∞Resolução/critério de classificação:()′ππ)( sensenπ0×∞ x x= lim = lim =limf(x) =limxsen()′1x→+∞ x→+∞x→+∞x→+∞x 1x xπ π− cos2 πxx= lim = π × lim cos = π ×1 = π1x→+∞ x→+∞ x2x()πEscrever lim f(x) = lim xsen............................................. 0,2x→+∞ x→+∞ xπ() senπ0×∞ xEscrever lim xsen......................................... 0,4=lim1x→+∞ x→+∞xx()′ππsensenx x=lim............................................ 0,6Escreverlim()′1x→+∞x→+∞1x x()′π ππsen cos−2xx xEscrever lim = lim....................................... 1,4)(′1x→+∞ x→+∞12xxπ π− cos2 πxxEscrever lim = π × lim cos....................................... 0,21x→+∞ x→+∞ x2xπ= π......................................................... 0,2Obterπ×limcosx→+∞ x

aTurma: ECV1 T12. P. Parcelar de Cálculo Dif. e Integral I - Pág. 8 de 8 01/06/2017senx4. (2 valores) Determine lim x.+x→0Resolução/critério de classificação:00senxsenxsenx= lnL ⇐⇒= lnL⇐⇒limlnxlimx=L⇐⇒lnlimx+++x→0x→0x→0′∞()lnx(lnx)0×∞ ∞⇐⇒ lim senxlnx = lnL ⇐⇒ lim = lnL ⇐⇒ lim = lnL ⇐⇒′+++x→0x→0x→0cosecx(cosecx)12 2 ′0−senx(−senx)0x= lnL⇐⇒lim⇐⇒lim= lnL ⇐⇒ lim = lnL ⇐⇒′+++x→0x→0x→0−cosecxcotgxxcosx(xcosx)−2 senxcosx⇐⇒ lim = lnL ⇐⇒ 0 = lnL ⇐⇒ L = 1+x→0 cosx−xsenx00senxEscrever lim x = L............................................................... 0,1+x→0senxEscrever ln lim x = lnL....................................................... 0,1+x→0() 0×∞Obter lim senxlnx = lnL........................................................ 0,2+x→0lnx ∞= lnL........................................................... 0,1Escreverlim+x→0 cosecx′(lnx)Escrever lim = lnL......................................................... 0,1′+x→0(cosecx)2 0−senx0Obter lim = lnL............................................................. 0,6+x→0 xcosx2 ′(−senx)Escrever lim = lnL........................................................ 0,1′+x→0(xcosx)−2 senxcosxEscrever lim = lnL.................................................... 0,4+x→0 cosx−xsenxEscrever 0 = lnL....................................................................... 0,2Concluir que L = 1.................................................................... 0,1FIM