Ficha de Exercícios n.º 4 de Cálculo Diferencial e Integral II: Máximos e mínimos · ISPTEC · 2021

Exercícios de Cálculo Diferencial e Integral II, do curso de Engenharia Mecânica no Instituto Superior Politécnico de Tecnologias e Ciências (ISPTEC), 2021.

Ficha de exercícios sobre máximos e mínimos de funções reais de várias variáveis reais. Contém 20 exercícios distribuídos em três secções: máximos e mínimos sem restrições (10 funções de duas variáveis e 4 de três variáveis), máximos e mínimos em conjuntos compactos (7 exercícios), e extremos condicionados com o método dos multiplicadores de Lagrange (10 exercícios). Inclui soluções completas para todos os problemas.

Tipo

Exercícios

Cadeira

Cálculo Diferencial e Integral II

Curso

Engenharia Mecânica

Universidade

Instituto Superior Politécnico de Tecnologias e Ciências

Ano

2021

Também conhecida como

Cálculo II, Cálculo 2, Cálculo Diferencial e Integral 2, Análise Matemática II, Análise Matemática 2, Análise II

Ficheiro

PDF, 7 páginas

Preço

15 pontos

Publicado por

Veteraano (equipa do Veteraano)

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Cálculo Diferencial e Integral IIoFicha de Exercícios n. 4Máximos e mínimosde funções reais de várias variáveis reaisoAno lectivo 2021/2. SemestreMáximos e mínimos sem restrições1. Estude, as funções a seguir definidas, quanto à existência de extremos locais:2 21.1f(x, y) =x+ 3xy+ 4y −6x+ 2y2 31.2f(x, y) =x+y +xy −3x−4y + 53 21.3f(x, y) =x+ 2xy+y −5x2 21.4f(x, y) =−x+y + 2xy + 4x−2y3 21.5f(x, y) =x−3xy + 27y2 21.6f(x, y) =x−4xy+ 4y −x+ 3y + 13 2 21.7 f(x, y) = x + 2xy + 4y −6x−12y4 4 2 21.8f(x, y) =x+y−2x−2y4 21.9f(x, y) =x+xy+y −6x−5y4 41.10f(x, y) =x+y + 4x+ 4y2. Estude, as funções a seguir definidas, quanto à existência de extremos locais:2 2 22.1f(x, y, z) =x+ 5y+ 2z + 4xy −2x−4y −8z + 23 3 32.2f(x, y, z) =x+y+z −3x−3y −3z + 23 2 22.3f(x, y, z) =x+ 2xy+y+z −5x−4z2 2 22.4f(x, y, z) =x−y+ 4z + 2xz −4yz −2x−6z

Página 23. Determine, caso existam, os extremos locais das funções definidas por:3 23.1f(x, y) =−x+ 4xy−2y + 12 2 2 23.2f(x, y) = 3xy+y−3x −6y + 73 2 23.3 f(x, y) = 1− x +y4. Considere as rectas r e s de equações, respectivamente,(x, y, z) = (0,0,2) +λ(1,2,0), λ ∈ R e (x, y, z) = (0,0,4) +μ(1,1,1), μ ∈ RDetetermine P e Q, com P ∈ r e Q ∈ s, de modo que a distância de P a Q seja a menor possível.5. Uma empresa produz dois produtos cujas quantidades são indicadas por x e y. Tais produtos sãovendidos ao preço unitário de p = 120−2x e p = 200−y, respectivamente. O custo total da122 2empresa para produzir e vender quantidadesxeydos produtos é dada porC=x+ 2y+ 2xy.Admitindo que toda a produção da empresa é vendida, determine a produção que maximiza olucro.Máximos e mínimos num conjunto compacto6. Estude a função f quanto à existência de extremos no conjunto dado:{ }ππ26.1f(x, y) = senx+ seny+ sen(x+y), emA=(x, y)∈R: 0 ≤ x ≤ ∧0 ≤ y ≤2 226.2f(x, y) = 3x−y, emA={(x, y)∈R: x ≥ 0∧y ≥ 0∧y −x ≤ 3∧x+y ≤ 4∧3x+y ≤ 6}2 2 26.3f(x, y) = 3x−y, emA={(x, y)∈R:x+y ≤ 1}2 26.4f(x, y) =x+ 3xy−3x, emA={(x, y)∈R: x ≥ 0∧y ≥ 0∧y +x ≤ 1}26.5f(x, y) =xy, emA={(x, y)∈R: x ≥ 0∧y ≥ 0∧y + 2x ≤ 5}2 2 2 2 26.6f(x, y) =y−x, emA={(x, y)∈R:x+y ≤ 4}2 2 26.7f(x, y) =x−2xy+ 2y, emA={(x, y)∈R: |x|+|y| ≤ 1}2 27.Suponha queT(x, y) = 4−x−y uma distribuição de temperatura no plano.2SejaA={(x, y)∈R: x ≥ 0∧y ≥ x∧2y +x ≤ 4}. Determine o ponto de A de menor tempe-ratura. 5x+ 6y ≤ 30 3x+ 2y ≤ 128. Determine o máximo de f(x, y) = x+ 5y, onde x e y estão sujeitas às restrições x ≥ 0 y ≥ 09. Uma determinada empresa está interessada em maximizar o lucro mensal proveniente provenientede dois dos seus produtos, designados por A e B. Para fabricar estes produtos ela utiliza um tipode máquina que tem uma disponibilidade de 200 máquina-hora por mês e tipo de mão de obra