Lista de Exercícios de Álgebra Linear e Geometria Analítica: Capítulo 2, vectores · ISPTEC

Lista de Exercícios de Álgebra Linear e Geometria Analítica, do curso de Engenharia Mecânica no Instituto Superior Politécnico de Tecnologias e Ciências (ISPTEC), .

Lista de exercícios do Capítulo 2 sobre vectores: operações gráficas, coordenadas, módulo, produto escalar, ângulo entre vectores e aplicações geométricas. Não tem resolução.

Tipo

Lista de Exercícios

Cadeira

Álgebra Linear e Geometria Analítica

Curso

Engenharia Mecânica

Universidade

Instituto Superior Politécnico de Tecnologias e Ciências

Ficheiro

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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA E TECNOLOGIAALGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICAEXERCÍCIOS (CAP.2 - VECTORES)1 - Dada a figura abaixo,Indique quais das afirmações são verdadeiras:a) 𝐸𝑂⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐺⃗⃗⃗⃗⃗b) 𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐶𝐻⃗⃗⃗⃗⃗c) 𝐷𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐻𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗|𝐶 − 𝑂| = |𝑂 − 𝐵|d)|𝐻 − 𝑂| = |𝐻 − 𝐷|e)f) H – E = O - Cg) |𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗| = |𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗|1h) |𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗| = |𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2i) 𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ ∥ 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗j) 𝐺𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ ∥ 𝐻𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗k) 𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗ ∥ 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗l) 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥ 𝑂𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗m) 𝐸𝑂⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥ 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗n) 𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥ 𝐻𝐹⃗⃗⃗⃗⃗o) 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥ −𝐹𝐸⃗⃗⃗⃗⃗2 – Qual é a resultante do vetor 𝑠 = 𝑎 + 𝑏⃗ + 𝑐 + 𝑑, da figura abaixo:1

3 – Representados os vetores 𝑢⃗ e 𝑣 na figura, achar graficamente o vetor x tal que𝑢⃗ + 𝑣 + 𝑥 = 04 – Quais são os vetores resultantes da soma dos vetores indicados nos cubos abaixo5 - No hexâgono regular, obter:a) (B-A)+(E-F)+(F-A)b) (D-A)-(E-A)+(E-B)6 - Seja o paralelepípedo representado na figura. Conhecendo-se os vértices B(1;2;3),D(2;4;6), E(5;4;1) e F(5;5;3), pede-se os vértices A e G.27 - Calcular P tal que 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗, sendo A(-1;-1;0) e B(3;5;0).32

Produto escalar|𝑢⃗| = 5 𝑒 |𝑣| = 128-Sabendoque𝑢⃗ 𝑒 𝑣sãoperpendicularestaisque, calcular|𝑢⃗ + 𝑣| 𝑒 |𝑢⃗ − 𝑣|.9 - Provar que ABC é triangulo rectângulo, sendo A(3;-2;8), B(0;0;2) e C(-3;-5;10).10 - Os vetores 𝑢⃗ = 𝑎𝑖 + 𝑘⃗ e 𝑣 = 2𝑖 − 𝑗 + 2𝑘⃗ formam um ângulo de 45°. Achar osvalores de 𝑎.11 - Os vetores 𝑢⃗ e 𝑣 são paralelos. Calcular o vetor 𝑣, conhecendo-se 𝑢⃗ = 2𝑖 + 𝑗 + 𝑘⃗e 𝑢⃗. 𝑣 = 3.12 - Determine 𝑢⃗ com módulo igual a 3√3, ortogonal a 𝑣 = (2; 3; −1) e a𝑤⃗⃗ = (2; −4; 6).2 2 2|𝑢⃗ + 𝑣||𝑢⃗||13 - Mostrar que=+ 2𝑢⃗. 𝑣 + |𝑣2 2 2|𝑢⃗ − 𝑣||𝑢⃗||14 - Mostrar que=− 2𝑢⃗. 𝑣 + |𝑣|𝑢⃗| = 2 𝑒 |𝑣| = 315 - Sendo que e 120° o ângulo entre 𝑢⃗ e 𝑣 calcular:|𝑢⃗ + 𝑣| |𝑢⃗ − 𝑣|a)𝑢⃗. 𝑣b)c)16 - Dados os vetores a 𝑢⃗ = (2; 3; −1) e 𝑣 = (1; −1; 4), calcular:(3𝑣 + 𝑢⃗). (𝑣 − 2𝑢⃗) (𝑣 + 𝑢⃗). (𝑢⃗ − 2𝑣)a)2𝑢⃗. (−𝑣)b)c)17 - Sejam os vetores 𝑢⃗ = (2; 𝑎; −1) e 𝑣 = (3; 1; −2), 𝑤⃗⃗ = (2𝑎 − 1; −2; 4). Determinar). (𝑣 + 𝑤⃗⃗)𝑎de modo que𝑢⃗. 𝑣 = (𝑢⃗ + 𝑣18 - Dados os vetores 𝑢⃗ = (1; 2; −3), 𝑣 = (2; 0; −1) e 𝑤⃗⃗ = (3; 1; 0), determinar o vetor𝑥 tal que 𝑥. 𝑢⃗ = −16, 𝑥. 𝑣 = 0 𝑒 𝑥. 𝑤⃗⃗ = 3.|𝑢⃗| = 219 - Determinar o vetor𝑢⃗tal que, ângulo formado entre 𝑢⃗ 𝑒 𝑣 = (1, −1,0) é 45°e 𝑢⃗ é ortogonal à 𝑤⃗⃗ = (1; 1; 0).20 - Dados os pontos A(-1;0;5), B(2;-1;4) e C(1;1;1), determinar x tal que 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ e 𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗sejam ortoganais, sendo P(x,0,x-3).21 - Qual o valor de 𝛼 para que os vetores 𝑎 = 𝛼𝑖 + 2𝑗 − 4𝑘⃗ 𝑒 𝑏⃗ = 2𝑖 + (1 − 2𝛼)𝑗 + 3𝑘⃗sejam ortogonais?22 - Determinar o ângulo entre os vetoresa) 𝑢⃗ = (2; −1; −1) 𝑒 𝑣 = (−1; −1; 2)b) 𝑢⃗ = (1; −2; 1) 𝑒 𝑣 = (−1; 1; 0)3

Produto vetorial e produto misto23 – Se 𝑎 = 3𝑖 − 𝑗 − 2𝑘⃗; 𝑏⃗ = 2𝑖 + 4𝑗 − 𝑘⃗; 𝑐 = −𝑖 + 𝑘⃗, determinar:⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗||a)𝑎×𝑎b) (𝑎×𝑏).𝑏c) (𝑎×𝑏)×(𝑏×𝑎)d) (𝑎×𝑏)×𝑐24 – Dados os pontos A(2;1;-1), B(3;0;1) e C(2;-1;-3), determinar o ponto D tal que𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ × 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗25 – Determine o vetor 𝑡 tal que 𝑡.(1,4,-3)=-7 e 𝑡x(4,-2,1)=(3,5,-2).26 – Resolver os sistemas⃗ ⃗ ⃗𝑥×𝑗=𝑘𝑥×(2𝑖−𝑗+3𝑘)=0a) b){{⃗ ⃗𝑥.(4𝑖−2𝑗+𝑘)=10𝑥.(𝑖+2𝑗−2𝑘 = 1227 – Dados os pontos A(1;-2;3), B(2;-1;-4), C(0;2;0) e D(-1;m;1), determinar o valorde m para que seja de 20 unidades de volume o volume do paralelepípedodeterminado pelos vetores 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗, 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ e 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗.28 – Calcular o valor de m para que o volume do paralelepípedo determinado pelosvetores 𝑣⃗⃗⃗⃗=2𝑖 − 𝑗, 𝑣⃗⃗⃗⃗=6𝑖 + 𝑚𝑗 − 2𝑘⃗ e 𝑣⃗⃗⃗⃗=4𝑖 + 𝑘⃗, seja igual a 10.12329 – Dados os vetores 𝑢⃗ = (0,1, −1), 𝑣 = (2, −2, −2) e 𝑤⃗⃗ = (1, −1,2), determinar ovetor 𝑥, paralelo a 𝑤⃗⃗, que satisfaz a condição 𝑥 × 𝑢⃗ = 𝑣.30 – Calcular a área do paralelogramo definido pelos vetores 𝑢⃗ = (3,1,2) e𝑣 = (4, −1,0).|𝑢⃗ × 𝑣| = 3√3 |𝑢⃗| = 3 |𝑣|31 – Se,e 60° é o ângulo entre𝑢⃗e𝑣, determinar.32 – Determinar um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores 𝑢⃗ = (1,1,0) e𝑣 = (2, −1,3).33 – Determinar o valor de m para que o vetor 𝑤⃗⃗ = (1,2, 𝑚), seja simultaneamenteortogonal aos vetores 𝑢⃗ = (2, −1,0) e 𝑣 = (1, −3, −1)34 – Dados 𝑎 = (1, −1,2), 𝑏⃗ = (3,4, −2) e 𝑐 = (−5,1, −4), mostrar que𝑎.(𝑏⃗ × 𝑐)=(𝑎 × 𝑏⃗).𝑐4