1.ª Prova Parcelar de Cálculo Diferencial e Integral I, turma EMC1 M1 (versão 2) · ISPTEC · 2017

1.ª Prova Parcelar de Cálculo Diferencial e integral I, do curso de Engenharia Mecânica no Instituto Superior Politécnico de Tecnologias e Ciências (ISPTEC), 2017. Docente: Prof. José Maria Samuco.

Enunciado da 1.ª prova parcelar (versão 2), de 03/05/2017, com resolução e critérios de classificação. Tem 5 questões: domínio e inversa de f(x)=6+6arcsen(6x+6), paridade e limite de (1−cos x)/x, limites e continuidade de uma função por ramos, domínio de f∘g e continuidade a partir da derivada.

Tipo

1.ª Prova Parcelar

Cadeira

Cálculo Diferencial e integral I

Curso

Engenharia Mecânica

Universidade

Instituto Superior Politécnico de Tecnologias e Ciências

Ano

2017

Docente

Prof. José Maria Samuco

Ficheiro

PDF, 5 páginas

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1.ª Prova ParcelarDuração: 150 minutosDisciplinaCálculo Diferencial e Integral ILicenciatura em Engenharia Mecânica Data: 03/05/2017CursoJosé Maria Samuco Turma: EMC1 M1DocenteNome do aluno N.º:• Na resposta a cada questão proposta, apresente todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificaçõesnecessárias.• Responda com uma esferográfica de tinta indelével, de cor preta ou azul.• Não é permitido o uso de calculadora nem de corrector.• Identifique as suas respostas com o número apresentado no enunciado. As respostas não identificadas serãoclassificadas com zero valores.• Apresente a sua resposta, a cada uma das oito questões propostas, em páginas diferentes da folha derespostas, preservando a ordem.• Na resolução das questões que envolvem o cálculo de limites, não é permitido o uso da regra de L’Hospital/regrade Cauchy nem o uso de infinitésimos equivalentes. O não cumprimento desta norma, implica a atribuiaçãode zero valores a todas as etapas que dependam da aplicação das regras atrás referidas.1. Considere a função injectiva f, definida por f(x) = 6 + 6 arcsen(6x+ 6).1.1 (2 valores) Determine o domínio da função f.Apresente o resultado sob a forma de intervalo de números reais.Resolução/critério de classificação:Escrever D = {x ∈ R: −1 ≤ 6x+ 6 ≤ 1}......................................... 0,8fEscrever D = {x ∈ R: −7 ≤ 6x ≤ −5}........................................... 0,5f{}7 5Escrever D = x ∈ R: − ≤ x ≤ −.......................................... 0,5f6 6[]7 5Escrever D = −,−..........................................................0,2f6 6

aTurma: EMC1 M1 - 1. Prova Parcelar de Cálculo Dif. e Integral I - Pág. 2 de 5 03/05/2017−11.2(3 valores) Determinef(x), expressão analítica da função inversa de f.Resolução/critério de classificação:Escrever y = 6 + 6 arcsen(6x+ 6).................................................. 0,2y −6..................................................... 0,6Obter arcsen(6x+ 6) =6)(y −6.................................................... 1,4Escrever 6x+ 6 = sen6()1 y −6Obter x = −1 + sen.................................................... 0,66 6 ()1 x−6−1Concluir que f (x) = −1 + sen....................................... 0,26 61−cosx2. Considere a função h definida, em R\ {0}, por h(x) =.x2.1 (2 valores) Estude a paridade da função h, verificando se a função é par, ímpar ou nem parnem ímpar.Resolução/critério de classificação:1−cos(−x).................................................... 0,5Escreverh(−x) =−x1−cosxEscrever h(−x) = −............................................. 1(0,8 + 0,2)xEscrever h(−x) = −h(x), ∀x ∈ R\ {0}............................................ 0,2Concluir que h é uma função ímpar............................................... 0,32.2 (3 valores) Calcule limh(x).x→0Resolução/critério de classificação:21−cosx(1−cosx)(1 + cosx)1−cosxlimh(x) = lim = lim = lim =x→0 x→0 x→0 x→0xx(1 + cosx) x(1 + cosx)2senx senx senx 0lim = lim × lim = 1× = 0x→0 x→0 x→0x(1 + cosx) x 1 + cosx 1 + 1Levantar a indeterminação........................................................ 1,6senxAplicar o limite fundamental lim = 1........................................ 0,4x→0 xsenxEscrever lim = 0......................................................... 0,5x→0 1 + cosx1−cosxObter lim............................................................... 0,5x→0 x

aTurma: EMC1 M1 - 1. Prova Parcelar de Cálculo Dif. e Integral I - Pág. 3 de 5 03/05/20173. Seja g a função, de domínio R\ {−1}, definida por3− x+ 9se x > 0xg(x) =2x + 4x+ 3 se x ≤ 02x −2x−33.1 (3 valores) Calcule lim g(x).x→−1Resolução/critério de classificação:2x + 4x+ 3 (x+ 1)(x+ 3) x+ 3 −1 + 3 1lim g(x) = lim = lim = lim = = −2x→−1x→−1 x→−1 x→−1x−2x−3 (x+ 1)(x−3) x−3 −1−3 2Levantar a indeterminação........................................................ 2,4Obter lim g(x).................................................................. 0,6x→−13.2 (3 valores) Verifique se g é contínua no ponto x = 0.Resolução/critério de classificação:3− x+ 9 (3− x+ 9)(3 + x+ 9)√limg(x) = lim= lim =+ + +x→0x→0x→0x x(3 + x+ 9)2 23−( −x −1 1x+ 9) 1√ √ √ √= lim= lim= lim=− = −+ + +x→0x→0x→0 6x(3 +x+ 9) x(3 +x+ 9) 3 +x+ 9 3 +92 0 + 4×0 + 3x+ 4x+ 3= = −1limg(x) = lim2−−x→0x→0x −2x−3 0−2×0−3Como lim g(x) 6= lim g(x), conclui-se que limg(x) não existe, pelo queg não é contínua− + x→0x→0x→0em x = 0.g(x)........................................... 1,8Levantar a indeterminação emlim+x→01Concluir que lim g(x) = −...................................................... 0,6+x→0 6Calcular lim g(x) ou g(0)......................................................... 0,2−x→0Concluir que f não é continua em x = 0.......................................... 0,4

aTurma: EMC1 M1 - 1. Prova Parcelar de Cálculo Dif. e Integral I - Pág. 4 de 5 03/05/20174. (2 valores) Sejam f e g duas funções reais de variável real.Sabe-se que:4;•a funçãogé definida porg(x) =2x −4• o domínio da função f é R\ {1}.Determine o domínio da função f ◦g.Apresente o domínio sob a forma de reunião de intervalos de números reais.Resolução/critério de classificação:Escrever D = R\ {−2; 2}............................................................. 0,6gEscrever D = {x ∈ D: g(x) ∈ D }.................................................. 0,2f◦ggf4Escrever D = x ∈ R\ {−2; 2}: ∈ R\ {1}................................. 0,2f◦g2x −44 2Escrever = 1 ⇐⇒ x −4 = 4................................................... 0,22x −42Escreverx −4 = 4 ⇐⇒ x = 8∨x = − 8........................................... 0,48∧x 6= 8............................... 0,2EscreverD=x∈R\ {−2; 2}:x6=−f◦gEscrever D =]− ∞,− 8[∪]− 8,−2[∪]−2,2[∪]2, 8[∪] 8,+∞[................... 0,2f◦g5. (2 valores) Seja g uma função real de variável real, de domínio D.Considere que:• b ∈ D;g(x)−g(b)• lim = k (k ∈ R).x→b x−bMostre que g é continua no ponto b.g(x)−g(b)Sugestão: Comece por escrever g(x) em função do quociente.x−b

aTurma: EMC1 M1 - 1. Prova Parcelar de Cálculo Dif. e Integral I - Pág. 5 de 5 03/05/2017Resolução/critério de classificação:g(x)−g(b)limg(x) = lim (x−b) +g(b) = k ×0 +g(b) = g(b)x→a x→a x−bLogo, g é continua em x = b.g(x)−g(b)Escrever limg(x) = lim ×(x−b) +g(b)................................ 1,2x→ax→b x−bg(x)−g(a)Escrever lim ×(x−b) +g(b) = k ×0 +g(b)............................ 0,6x→b x−bConcluir que limg(x) = g(b)........................................................... 0,2x→bFIM