Exame Normal de Álgebra Linear e Geometria Analítica · ISPTEC · 2021

Exame Normal de Álgebra Linear e Geometria Analítica, do curso de Engenharias no Instituto Superior Politécnico de Tecnologias e Ciências (ISPTEC), 2021.

Exame de época normal com três variantes (A, B, C) para a disciplina de Álgebra Linear e Geometria Analítica. A Variante A destina-se a Engenharias e a Variante B a Geociências, ambas com 5 exercícios sobre matrizes, vetores, planos e rectas. A Variante C é para Engenharias com exercícios adicionais sobre sistemas lineares e triângulos.

Tipo

Exame Normal

Cadeira

Álgebra Linear e Geometria Analítica

Curso

Engenharias

Universidade

Instituto Superior Politécnico de Tecnologias e Ciências

Ano

2021

Ficheiro

PDF, 3 páginas

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Exame de Época NormalVARIANTE –DISCIPLINA ÁLGEBRA LINEAR & GEOMETRIA ANALÍTICACURSOS ENGENHARIAS Duração: 2H30DOCENTE Data:NOME NºRECOMENDAÇÕES IMPORTANTES:Na resposta a cada item, apresente todas as justificações necessárias. As respostas sem os cálculos ou passos terão cotação zero!É permitido o uso da calculadora. Especificar a zona de rascunho. Não serão consideradas as partes escritas à lápis.Provas de conteúdos globais ou parciais iguais, ou com suspeitas de cópia, serão anuladas.VARIANTE - A1. Sejam as matrizes,i j,sei < j  Bc  6j2i, e, CalcularAa2ij,seijijij3x33x3 iij,sei > j1a) AT detABb)22. Os vectores 𝑎⃗ e 𝑏⃗⃗ são perpendiculares entre si e formam ângulos de e com o33|𝑎⃗| = 4, |𝑏⃗⃗| = 7 |𝑐⃗| = 6vector𝑐⃗, respectivamente. Sabendo quee, calcule o valor de.|3𝑎⃗ − 5𝑏⃗⃗ − 5𝑐⃗|3. Os vectores 𝑢⃗⃗ = (2; −1; −3); 𝑣⃗ = (−1; 1; −4) 𝑒 𝑤⃗⃗⃗ = (𝑎 + 1; 𝑎; −1) determinam umparalelepípedo de volume 42.a) Calcular o valor e 𝑎para que o volume do paralelepípedo seja igual a 42 u.vb) De acordo a alínea anterior, calcule o volume da prisma definido por estesvetores.y 2xr:4.Dada a recta e o plano definido pelos pontos A(-3;2;1), B(0;5;2) ez 2x1C(-2;3;0), determine:a) A equação do plano na forma geralb) A equação da recta r reduzida a z.c) O ângulo entre r e 2 25.Considere a circunferência𝛿: 𝑥+ 2𝑥 + 𝑦 − 24 = 0e a recta𝑡: 𝑥 + 𝑦 − 6 = 0. Determinar aequação da recta 𝑠 que passa pelo ponto médio dos pontos de interseção de 𝛿 e 𝑡, eque seja perpendicular à 𝑡.COTAÇÃO: 1. a) 2v b)2V 2.3V; 3. a) 3v b) 3v; 4.a)1.5V b)1.5V c)1v; 5. 3V

Exame de Época NormalVARIANTE –DISCIPLINA ÁLGEBRA LINEAR & GEOMETRIA ANALÍTICACURSOS GEOCIÊNCIAS Duração: 2H30DOCENTE Data:NOME NºRECOMENDAÇÕES IMPORTANTES:Na resposta a cada item, apresente todas as justificações necessárias. As respostas sem os cálculos ou passos terão cotação zero!É permitido o uso da calculadora. Especificar a zona de rascunho. Não serão consideradas as partes escritas à lápis.Provas de conteúdos globais ou parciais iguais, ou com suspeitas de cópia, serão anuladas.VARIANTE - B1. Sejam as matrizes,i j,sei < j  Bc  6j2i, e, CalcularAa2ij,seijijij3x33x3 iij,sei > j1Aa)T detABb)22. Os vectores 𝑎⃗ e 𝑏⃗⃗ são perpendiculares entre si e formam ângulos de e com o33|𝑎⃗| = 4, |𝑏⃗⃗| = 7 |𝑐⃗| = 6vector𝑐⃗, respectivamente. Sabendo quee, calcule o valor de.|3𝑎⃗ − 5𝑏⃗⃗ − 5𝑐⃗|3. Os vectores 𝑢⃗⃗ = (2; −1; −3); 𝑣⃗ = (−1; 1; −4) 𝑒 𝑤⃗⃗⃗ = (𝑎 + 1; 𝑎; −1) determinam umparalelepípedo de volume 42.a) Calcular o valor e 𝑎para que o volume do paralelepípedo seja igual a 42 u.vb) De acordo a alínea anterior, calcule o volume da pirâmide definido por estesvetores.y 2xr: :x y5  04.Dada a rectae o plano, determine:z 2x1a) A equação do plano na forma geralb) A equação da recta r reduzida a z.c) O ângulo entre r e5. Se a distância entre o plano 𝛽: 𝑎𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 𝑑, e o plano que contém as𝑥−1 𝑦−2 𝑧−3 𝑥−2 𝑦−3 𝑧−4|𝑑|rectas r:==𝑒𝑠:==écalcular.√6,2 3 4 3 4 5COTAÇÃO: 1. a) 2v b)2V 2.3V; 3. a) 3v b) 3v; 4.a)1.5V b)1.5V c)1v; 5. 3V

Exame de Época NormalDISCIPLINA ÁLGEBRA LINEAR & GEOMETRIA ANALÍTICACURSOS ENGENHARIAS Duração: 2H30DOCENTE Data:NOME NºRECOMENDAÇÕES IMPORTANTES:Na resposta a cada item, apresente todas as justificações necessárias. As respostas sem os cálculos ou passos terão cotação zero!É permitido o uso da calculadora. Especificar a zona de rascunho. Não serão consideradas as partes escritas à lápis.Provas de conteúdos globais ou parciais iguais, ou com suspeitas de cópia, serão anuladas.VARIANTE - C1. Sejam as matrizes,i  j,sei < j  Bc  6j2i, e, CalcularAa2ij,seijijij3x33x3 iij,sei > j1a) AT detABb)2. Seja A a matriz dos coeficientes do sistema linear:A 0a)Calcular os valores deda equação;b) Ache a solução geral desse sistema para.2x y  z   2xy  z   2x y z   223. Os vectores 𝑎⃗ e 𝑏⃗⃗ são perpendiculares entre si e formam ângulos de e com o33|𝑎⃗| = 4, |𝑏⃗⃗| = 7 |𝑐⃗| = 6vector𝑐⃗, respectivamente. Sabendo quee, calcule o valor de.|3𝑎⃗ − 5𝑏⃗⃗ − 5𝑐⃗|4. O vetor 𝑐⃗ = (2; 1) é expresso como 𝑐⃗ = 𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗, onde o vetor 𝑎⃗ é paralelo ao vetor 𝑥⃗ =(3𝑚; 4𝑛)e o vetor 𝑏⃗⃗ éparalelo ao vetor 𝑦⃗ = (−3𝑛; −𝑛), respectivamente, sendo 𝑚 ≠ 0 e 𝑛 ≠ 0. Achar.|𝑏⃗⃗|5. Considere um triângulo OAB lai que 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (3; 6; −2) E 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (4; −1; 3), onde Oé a origem dos eixos das coordenadas.a) Achar a magnitude do lado do triângulo OAB.|𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗|b) Mostre que o triângulo OAB é rectânguloc) Achar os ângulos agudos do triânguloCOTAÇÃO: 1. a) 2v b)2V 2. a) 3v b)3V; 3. a) 3v; 4. 3v; 5. a)1.5V b)1V c)1.5v