2.ª Prova Parcelar de Cálculo Diferencial e Integral II, turma EMC2 M1 (com resolução) · ISPTEC · 2017

2.ª Prova Parcelar de Cálculo Diferencial e Integral II, do curso de Engenharia Mecânica no Instituto Superior Politécnico de Tecnologias e Ciências (ISPTEC), 2017. Docente: Prof. José Maria Samuco.

Enunciado da 2.ª prova parcelar com resolução e critérios de classificação. Trata domínio de funções de duas variáveis representado geometricamente, derivada parcial pela definição, limites e continuidade, derivadas parciais e integração por frações parciais.

Tipo

2.ª Prova Parcelar

Cadeira

Cálculo Diferencial e Integral II

Curso

Engenharia Mecânica

Universidade

Instituto Superior Politécnico de Tecnologias e Ciências

Ano

2017

Docente

Prof. José Maria Samuco

Ficheiro

PDF, 7 páginas

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2.ª Prova ParcelarDuração: 100 minutosDisciplinaCálculo Diferencial e Integral IILicenciatura em Engenharia Mecânica Data: 25/10/2017CursoJosé Maria Samuco Turma: EMC2 M1DocenteNome do aluno N.º:• Na resposta a cada questão proposta, apresente todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificaçõesnecessárias.• Responda com uma esferográfica de tinta indelével, de cor preta ou azul.• Não é permitido o uso de calculadora nem de corrector.• Identifique as suas respostas com o número apresentado no enunciado. As respostas não identificadas serãoclassificadas com zero valores.• Nas folhas de resposta, apenas as páginas sem quadriculados ou sem linhas devem ser usadas para rascunho.Não apresente as suas respostas nessas páginas. Se o fizer, as suas respostas não serão classificadas.

1. Sejam f e g as funções definidas, respectivamente, por√ xy2 2f(x, y) = ln(x−y−1) +1−x−y e g(x, y) =.3 2x+y1.1 (2 valores) Represente geometricamente o domínio da função f.Nota: Deve começar por determinar analiticamente o domínio da função f.Resolução/critério de classificação:2 2 2 2 2 2D={(x, y)∈R: 1−x−y≥0∧x−y−1>0}={(x, y)∈R:x+y ≤ 1∧y < x−1}fA região sombreada da figura abaixo representa o domínio da função f.y1x1-1O-12 2 2EscreverD={(x, y)∈R: 1−x−y ≥ 0∧x−y −1 > 0}..................... 0,8f2 2 2EscreverD={(x, y)∈R:x+y ≤ 1∧y < x−1}............................. 0,4fRepresentar geometricamente o domínio........................................... 0,8

1.2 (2 valores) Mostre que lim g(x, y) não existe.(x,y)→(0,0)Resolução/critério de classificação:2 0 1xyx10= = 1limg(x, y) =lim= lim= lim3 2 3 2x→0 x→0(x,y)→(0,0)(x,y)→(0,0)x+yx+x x+ 1 0 + 1y=x y=x2 0xy −1 1−x0lim g(x, y) = lim = lim = − = −1= lim3 2 3 2 x→0x→0(x,y)→(0,0)(x,y)→(0,0)x+yx+x x+ 1 0 + 1y=−x y=−xComo lim g(x, y) 6= lim g(x, y), conclui-se que lim g(x, y) não existe.(x,y)→(0,0) (x,y)→(0,0) (x,y)→(0,0)y=x y=−xCalcular lim g(x, y) (ou equivalente).......................................... 0,9(x,y)→(0,0)y=xCalcular lim g(x, y) (ou equivalente).......................................... 0,9(x,y)→(0,0)y=−xConclusão........................................................................ 0,2∂g(1,1).1.3(2 valores) Usando a definição de derivada parcial de uma função num ponto, calcule∂yResolução/critério de classificação:11 +h2∂gg(1,1 +h)−g(1,1)1 + (1 +h) 2(1,1) = lim = lim =h→0 h→0∂yh h2 02 + 2h−(2 + 2h+h)−h= lim = lim = = 02 2 2h→0h→02h[1 + (1 +h)]2[1 + (1 +h)] 2[1 + (1 + 0)]∂g g(1,1 +h)−g(1,1)Escrever (1,1) = lim....................................... 0,4h→0∂y h1 +h 12∂g1 + (1 +h) 2Escrever (1,1) = lim.......................................... 0,2h→0∂y h−h∂gObter (1,1) = lim............................................... 1,22h→0∂y2[1 + (1 +h)]∂gEscrever (1,1) = 0.............................................................. 0,2∂y

2. Sejam g e h as funções definidas, respectivamente, por3 2x−xy3 2.g(x, y) = ln(y−xy)eh(x, y) =x+y2.1 (3 valores) Determine lim h(x, y).x→1y→−1Resolução/critério de classificação:3 2 2 20x−xy x(x−y)(x+y)x(x−y)0 2lim = lim = lim (x −xy) = 1 + 1 = 2= limx→1 x→1 x→1x→1x+yx+yx+yy→−1 y→−1 y→−1y→−1Levantar a indeterminação......................................... 2,8(0,4 + 2 + 0,4)Obter o valor de lim h(x, y)......................................................0,2x→1y→−12.2 (3 valores) Determine g (x, y)×h (x, y).xyResolução/critério de classificação:3 2 ′ −2xy −2x(y−xy)x′= =(x, y) = gx3 2 3 2 2 2y−xyy−xyy−xNo domínio de h, tem-se2 232x(x−y) x(x−y)(x+y)x−xy2===x −xy. Portanto,h(x, y) =x+y x+y x+y2−2x2x(x, y) = −x e g (x, y)×h (x, y) =h ×(−x) =.yxy2 2 2 2y−xy−x′Calcularg(x, y)..................................................................... 1x2Mostrar queh(x, y) =x −xy..................................................... 1,2′Calcularh(x, y).................................................................. 0,4y′ ′Calcularg(x, y)×h(x, y)........................................................ 0,4x y

23.(3 valores) Considere a funçãof, de domínioR, definida porxy +x−2y −2 se x 6= 2 x−2f(x, y) =22x se x = 2Verifique se f é contínua no ponto (2,7).Resolução/critério de classificação:2f(2,7) = 2×2 = 80(x−2)(y + 1)xy+x−2y−2x(y+ 1)−2(y+ 1)0= lim =limf(x, y) = lim= limx→2x→2x→2x→2x−2x−2 x−2y→7y→7y→7y→7= lim(y + 1) = 7 + 1 = 8x→2y→7Como limf(x, y) = f(2,7), conclui-se que f é contínua em (2,7).x→2y→7Levantar a indeterminação em limf(x, y)................................................ 2x→2y→7Concluir que limf(x, y) = 8............................................................ 0,4x→2y→7Calcular f(2,7)........................................................................ 0,2Concluir que f é continua em (2,7).................................................... 0,4

4. Calcule os integrais seguintes.∫ 0dx. Apresente o resultado sob a forma de um único logaritmo.4.1(2 valores)(x−1)(x−3)−1Resolução/critério de classificação:Como1 A B= + ⇐⇒ 1 = A(x−3) +B(x−1) ⇐⇒(x−1)(x−3) x−1 x−31A = −A=−BA+B= 02⇐⇒⇐⇒⇐⇒(A+B)x−3A−B= 1⇐⇒1−3A−B= 12B= 1B =2Portanto, ∣0() ∫∫∫∣0 0 01dx1dx1dx 1 ∣=−=−+ =ln|x−1|+ ln|x−3|∣∣(x−1)(x−3) 2x−1 2x−3 2 2 −1−1−1−11 1 1 3= 0 + ln 3− − ln 2 + ln 4 = ln2 2 2 21 A BEscrever = +......................................... 0,2(x−1)(x−3) x−1 x−3Obter (A+B)x−3A−B = 1.................................................... 0,2Obter os valores de A, B e C..................................................... 0,2∫ ∫ ∫00 0dx dx dx11Escrever = − +.........................0,2(x−1)(x−3) 2 x−1 2 x−3 −1−1−1∣0() ∫∣0dx11∣=−ln|x−1|+ ln|x−3|......................1Escrever∣(x−1)(x−3) 2 2 −1−10dx 3Obter = ln................................................. 0,2(x−1)(x−3) 2 −1

23−x4.2 (3 valores) x e dx.0Resolução/critério de classificação:1 12 2 223−x2−x−x2−xx e dx = − x e − 2xe dx =x−2xedx=−2 2() ()112 2 22−x−x−x 2= − x e +e +C = − e x + 1 +C, C ∈ R2 2[ ]∫∫b+∞b()12223 −x 3 −x −x 2x e dx = lim x e dx = lim − e x + 1 =b→+∞ b→+∞ 200 02 2 ′()111b+ 111(b+ 1) 12−b 2= lim − e b + 1 + = − lim + = − lim + =22b b ′b→+∞b→+∞b→+∞2222 2 2 e(e)1 2b 1 1 1 1 1 1 1= − lim + = − lim + = − ×0 + = 22b bb→+∞b→+∞22 2 2 2 2 22bee23−xCalcular x e dx.............................................................. 1,5∫ b23−xCalcular x e dx, com b > 0.................................................. 0,50∫ b23−xx eCalcularlim dx.......................................................... 1b→+∞ 0FIM