Exame Normal de Cálculo Diferencial e Integral I, turno da tarde · ISPTEC · 2018

Exame Normal de Cálculo Diferencial e integral I, do curso de Engenharia Informática no Instituto Superior Politécnico de Tecnologias e Ciências (ISPTEC), 2018.

Exame de época normal com duração de 180 minutos, composto por 4 questões sobre integrais indefinidos, limites, derivação implícita, funções definidas por partes, assintotas e continuidade. Inclui propostas de resolução e critérios de classificação detalhados para cada questão.

Tipo

Exame Normal

Cadeira

Cálculo Diferencial e integral I

Curso

Engenharia Informática

Universidade

Instituto Superior Politécnico de Tecnologias e Ciências

Ano

2018

Ficheiro

PDF, 8 páginas

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Exame de Época Normal - Turno da tardeDisciplina Cálculo Diferencial e Integral I Duração: 180 minutosCurso EMC, EPI, EINF, EQM, ECV, EPT, EEL e GFS Data: 18/06/2018Docente Turma:oNome do alunoN.:• Responda com uma esferográfica de tinta indelével (que não se pode apagar), de cor preta ou azul.• Não é permitido o uso de calculadora nem de corrector.• Identifique as suas respostas com o número apresentado no enunciado.• Na resposta a cada questão proposta, apresente todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificaçõesnecessárias.• Simplifique todos os resultados.4 senx 61. (2 valores) Calcule o integral indefinido − + dx.2 5xcosxxProposta de resolução e critério de classificação:4 senx 6 dx 3−5tgxsecxdx+6 x +−+ dx= 4−dx= 4 ln|x|−secx−2 5 4xcosxxx2x+C, C ∈ R4 senx 6 dx senx −5Escrever − + dx = 4 − dx+ 6 x dx................ 0,52 5 2xcosxxxcosx4 senx 6 3Escrever +C, C ∈ R.................. 1,5−+ dx= 4 ln|x| −secx−2 5 4xcosxx2x

2 −x2.Considere a funçãofdefinida porf(x) = (x+ 5)e.2.1 (2 valores) Calcule lim f(x).x→+∞Proposta de resolução e critério de classificação:() 2 2 ′ 2xx+ 5(x+ 5)2 −x= limlimf(x) =lim(x+ 5)e=lim=lim =′x xxx→+∞x→+∞x→+∞x→+∞x→+∞ee(e)′ 2 2(2x)= lim = 0=lim′xxx→+∞x→+∞e +∞(e))( 2x + 52 −x= limEscreverlim(x+ 5)e...................................... 0,4xx→+∞x→+∞e2x + 5Levantar a indeterminação em lim........................................1,4xx→+∞eObter lim f(x) = 0.............................................................. 0,2x→+∞2.2 (2 valores) Determine o integral indefinido f(x)dx.Proposta de resolução e critério de classificação:Aplicando duas vezes o método de integração por partes, obtém-se2 −xf(x)dx = (x + 5)e dx2 −x −x= −(x + 5)e − −2xe dx2 −x −x= −(x + 5)e + 2xe dx2 −x −x −x= −(x + 5)e −2xe − −2e dx2 −x −x −x= −(x + 5)e −2xe −2e +C2 −x= −(x + 2x+ 7)e +C, C ∈ R2 −x 2 −x −xEscrever (x + 5)e dx = −(x + 5)e − −2xe dx.......................... 0,82 −x 2 −x −x −xEscrever (x + 5)e dx = −(x + 5)e −2xe − −2e dx................... 0,82 −x 2 −xObter (x + 5)e dx = −(x + 2x+ 7)e +C, C ∈ R........................ 0,4

dy3. Calcule, sabendo que as seguintes equações definem y como função de x.dxdy ′(A expressão representa o mesmo que y)dx 3t + 1x =2t −13.1 (2 valores) 1y =2t −1Proposta de resolução e critério de classificação:()′3 3 ′ 2 3 2 ′ 2 2 3t + 1 (t + 1) (t −1)−(t + 1)×(t −1) 3t (t −1)−(t + 1)×2t′x (t) = = = =22222t −1 (t −1) (t −1)4 2424t−3t −2t3t−3t−2t−2t== 22 2 2(t −1) (t −1)()′ ′ 2 2 ′ 21 1 ×(t −1)−1×(t −1) 0×(t −1)−1×2t 2t′y (t) = = = = −22222 2 2t −1 (t −1) (t −1) (t −1)2t−′ 2 2dy y (t) 22t(t−1)= = = −=−42′42 3dx x (t) t −3t −2t t −3t−2t−3t−2t2 2(t−1)3t + 1Calcular................................................................ 0,82t −11Calcular................................................................ 0,82t −1dy 2Obter = −.......................................................... 0,43dxt −3t−2

3 2 23.2(2 valores)x−3xy+ 3xy = 26Proposta de resolução e critério de classificação:3 2 2Derivando os dois membros da equaçãox−3xy+3xy = 26 em ordem ax, obtém-sesucessivamente3 2 2 ′ ′(x −3x y + 3xy) = (26)2 2 ′ 2 ′3x −(6xy + 3x y) + 3y + 3x×2yy = 02 ′ ′ 2 2−3x y + 6xyy = −3x + 6xy −3y2 ′ 2 2(−3x + 6xy)y = −3x + 6xy −3y2 26xy−3y−3xy =26xy−3x2 22xy−y−xy =22xy−x2 2 ′ 2 ′Escrever 3x−(6xy+ 3xy) + 3y+ 3x×2yy = 0................................ 1,52 26xy−3y−3x′....................................................... 0,5Obtery=26xy−3x

4. Seja g a função, de domínio R, definida por 3 2x +x −xse x < 02x −6xg(x) = 1 se x = 0 x+ 9−3 se x > 0x4.1 (2 valores) Determine uma equação da assimptota oblíqua do gráfico de g, à esquerda(quando x → −∞).Proposta de resolução e critério de classificação:3 2x+x −x3 2 32g(x)x+x−xxx −6xm=lim=lim = lim = lim = lim 1 =3 2 3x→−∞x→−∞x→−∞x→−∞ x→−∞xxx−6xx= 13 2 3 232x+x−x−x+ 6xx+x−x= lim−x =b=lim(g(x)−mx) =lim2 2x→−∞x→−∞x→−∞x−6xx −6x2 27x−x7x= lim = lim = lim 7 = 72 2x→−∞x→−∞ x→−∞x−6xxA recta de equação y = x+ 7 é assíntota oblíqua do gráfico da função g, à esquerda.g(x)Obter lim = 1............................................................. 0,9x→−∞ xObter lim (g(x)−x) = 7.........................................................0,9x→−∞Concluir que a recta de equação y = x+ 7 é assíntota oblíqua do gráfico de g..... 0,2

4.2 (2 valores) Verifique se a função g é contínua no ponto de abcissa 0.Proposta de resolução e critério de classificação:g(0) = 13 2 2 2x+x−xx+x−10 + 0−1 1lim g(x) = lim = lim = =2−− −x→0x→0x→0x−6x x−6 0−6 6(Como alternativa, poder-se-ia ter calculado lim g(x))+x→0Como lim g(x) 6= g(0), conclui-se que g não é contínua em x = 0.−x→0Escrever g(0) = 1..................................................................0,2Calcular lim g(x) ou lim g(x)....................................................1,4− +x→0x→0Justificar que g é não é contínua em x = 0......................................... 0,4

x5.(4 valores) Considere a funçãoh, de domínioR, definida porh(x) = arctg(e).πsão assimptotas do gráfico da função h, à esquerda e àAs rectas de equaçõesy= 0 ey=2direita, respectivamente.Faça um esboço do gráfico da função h, estudando-a, previamente, quanto:– à monotonia e existência de extremos relativos;– ao sentido das concavidades do gráfico e existência de pontos de inflexão.Proposta de resolução e critério de classificação:– Monotonia e extremos relativosxe′ ′ ′A derivada da funçãohéh(x) =.Comoh(x)>0, para todox∈R, a equaçãoh(x) = 0 não tem2x1 +esoluções.x ∞ +∞h +hA função h é crescente em R e não tem extremos relativos.– Sentido das concavidades do gráfico e pontos de inflexãoA segunda derivada da função h éx 2x x 2x x 3x 3x xe(1 +e)−e×2ee+e−2ee′′ 2xh (x) = = = ×(1−e)2x 2 2x 2 2x 2(1 +e)(1 +e)(1 +e)xe2x 2x 2x 2x 0′′×(1−e) = 0⇐⇒1−e= 0⇐⇒e= 1⇐⇒e=e ⇐⇒h(x) = 0⇐⇒2x 2(1 +e)⇐⇒ 2x = 0 ⇐⇒ x = 0x 0 +∞∞h´ + 0 0,25hP.I.O gráfico da função h tem concavidade voltada para baixo no intervalo ]0,+∞[, concavidade voltada para cima no()πintervalo ]−∞,0[, sendo o ponto de coordenadas 0, ponto de inflexão.4Na figura abaixo está uma representação gráfica da função h.y𝜋2𝜋4xEstudar f quanto à monotonia e extremos.................................................................................. 1Estudar f quanto às concavidades e pontos de inflexão...................................................................... 2Esboçar o gráfico de f...................................................................................................... 1

26.(2 valores) Sejapa função definida porp(x) =x −2x+k, com k ∈ R.Sabe-se que a recta de equação y = x−1 é tangente ao gráfico da função p, no ponto A.Determine o valor de k.Proposta de resolução e critério de classificação:′A derivada da funçãopép(x) = 2x−2.′A abcissaado pontoA, ponto de tangência, é tal quep(a) = 1.3′p(a) = 1 ⇐⇒ 2a−2 = 1 ⇐⇒ 2a = 3 ⇐⇒ a =213−1 =.Como a recta tangente contém o ponto de tangênciaA, a sua ordenada éy=2 2()3 1Portanto, o ponto A tem coordenadas.,2 23 1Uma vez que o ponto A, pertence ao gráfico da função p, as suas coordenadas2 2() ()21 3 32−2 +k, ou seja,satisfazem a igualdadep(x) =x−2x+k. Pelo que=2 2 21 9 5k = − + 3 =.2 4 4′Calcularp(x).......................................................................... 0,6′Resolver a equaçãop(x) = 1........................................................... 0,4Calcular a ordenada do ponto A....................................................... 0,4Calcular o valor de k................................................................... 0,6FIM