1.ª Prova Parcelar de Cálculo Diferencial e Integral I, turma EMC1 T1 (versão 2) · ISPTEC · 2017

1.ª Prova Parcelar de Cálculo Diferencial e integral I, do curso de Engenharia Mecânica no Instituto Superior Politécnico de Tecnologias e Ciências (ISPTEC), 2017. Docente: Prof. José Maria Samuco.

Enunciado da 1.ª prova parcelar (versão 2), de 05/05/2017, com resolução e critérios de classificação. Tem 5 questões: domínio e teorema de Bolzano para f(x)=−5+√(4x)+log₂(x+4), inversa e limite de arccos((x+1)/(x−1)), domínio de f/g e limite no infinito, continuidade com parâmetros k e m, e derivada da função inversa.

Tipo

1.ª Prova Parcelar

Cadeira

Cálculo Diferencial e integral I

Curso

Engenharia Mecânica

Universidade

Instituto Superior Politécnico de Tecnologias e Ciências

Ano

2017

Docente

Prof. José Maria Samuco

Ficheiro

PDF, 5 páginas

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1.ª Prova ParcelarDuração: 150 minutosDisciplinaCálculo Diferencial e Integral ILicenciatura em Engenharia Mecânica Data: 05/05/2017CursoJosé Maria Samuco Turma: EMC1 T1DocenteNome do aluno N.º:• Na resposta a cada questão proposta, apresente todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificaçõesnecessárias.• Responda com uma esferográfica de tinta indelével, de cor preta ou azul.• Não é permitido o uso de calculadora nem de corrector.• Identifique as suas respostas com o número apresentado no enunciado. As respostas não identificadas serãoclassificadas com zero valores.• Apresente a sua resposta, a cada uma das às oito questões propostas, em páginas diferentes da folha derespostas, preservando a ordem.• Na resolução das questões que envolvem o cálculo de limites, não é permitido o uso da regra de L’Hospital/regrade Cauchy nem o uso de infinitésimos equivalentes. O não cumprimento desta norma, implica a atribuiaçãode zero valores a todas as etapas que dependam da aplicação das regras atrás referidas.1. Considere a função f definida por f(x) = −5 + 4x+ log (x+ 4).21.1 (2 valores) Determine o domínio da função f.Apresente o resultado sob a forma de intervalo de números reais.Resolução/critério de classificação:Escrever D = {x ∈ R: 4x ≥ 0∧x+ 4 > 0}....................................... 0,8fObter D = {x ∈ R: x ≥ 0∧x > −4}............................................. 0,6fEscrever D = {x ∈ R: x ≥ 0}.................................................... 0,4fEscrever D = [0,+∞[............................................................ 0,2f

aTurma: EMC1 T1 - 1. Prova Parcelar de Cálculo Dif. e Integral I - Pág. 2 de 5 05/05/20171.2 (1 valor) Mostre que a função f tem pelo menos um zero no intervalo ]0,4[.Sugestão: Utilize o teorema de Bolzano ou o seu corolário.Resolução/critério de classificação:A função f é contínua em R, porque é definida pelo soma de funções contínuas nesse0conjunto. Em particular, f é contínua no intervalo [0,4] ⊂ R.0Por outro lado, tem-se) ()(4×4 + log (4 + 4) × −5 + 0 + log (0 + 4) = −6 < 0f(4)×f(0) =−5 +22Portanto, atendendo ao corolário do teorema de Bolzano, conclui-se que a função f tempelo menos um zero no intervalo ]0,4[.Justificar a continuidade de f no intervalo [0,4]................................... 0,4Calcular f(4)×f(0)...............................................................0,4Conclusão......................................................................... 0,2x+ 1.2.Considere a função injectivahdefinida, em ]− ∞,0], porh(x) = arccosx−1−12.1(3 valores) Determineh(x), expressão analítica da função inversa de h, para x ∈]0, π].Resolução/critério de classificação:x+ 1Escrever y = arccos...................................................... 0,2x−1x+ 1Escrever cosy =...............................................................1x−1Escrever xcosy −cosy = x+ 1.................................................... 0,61 + cosyObter x =............................................................. 0,8−1 + cosy1 + cosx−1Concluir que h (x) =................................................ 0,4−1 + cosx2.2 (3 valores) Calcule lim h(x).x→−∞Resolução/critério de classificação:1()()1 + x+ 1x+ 1 xlimh(x) =limarccos= arccoslim= arccoslim =1x→−∞x→−∞x→−∞x→−∞x−1x−11−x

aTurma: EMC1 T1 - 1. Prova Parcelar de Cálculo Dif. e Integral I - Pág. 3 de 5 05/05/20171 + 0= arccos = arccos(1) = 01−0Levantar a indeterminação........................................................ 1,6x+ 1................................................................. 0,8Obterlimx→−∞ x−1Obter lim h(x)................................................................. 0,6x→−∞3. Sejam f e g duas funções reais de variável real.Sabe-se que: √2x −4;•a funçãogé definida porg(x) =x−2• o domínio da função f é ]− ∞,0].f.3.1(3 valores) Determine o domínio da funçãogApresente o domínio sob a forma de intervalo de números reais.Resolução/critério de classificação:2EscreverD=x∈R:x−26= 0∧x −4 ≥ 0................................... 0,6gEscrever D = x ∈ R: x 6= 2∧(x ≤ −2∨x ≥ 2).................... (0,2 + 0,6)0,8gEscrever D =]− ∞,−2]∪]2,+∞[................................................. 0,4g2x −4Escrever = 0 ⇐⇒ x = −2................................................ 0,4x−2Escrever D = (D ∩D)\ {x ∈ D: g(x) = 0}................................... 0,2ffgggEscrever D = ]− ∞,0]∩ ]− ∞,−2]∪]2,+∞[ \ {−2}...................... 0,2fgEscrever D =]− ∞,−2[......................................................... 0,4fg3.2 (3 valores) Calcule lim g(x).x→+∞

aTurma: EMC1 T1 - 1. Prova Parcelar de Cálculo Dif. e Integral I - Pág. 4 de 5 05/05/2017Resolução/critério de classificação:22x −4 4x−4√ √ 1−2 22x−4xxxlimg(x) =lim=lim = lim = lim =x−2 2 2x→+∞x→+∞x→+∞x→+∞x→+∞x−21− 1−x x x√1−0= 11−0Levantar a indeterminação........................................................ 2,4Obter lim g(x).................................................................. 0,6x→+∞4. (3 valores) Para um certo valor de k e para um certo valor de m, é contínua em x = 0 a funçãog, definida por 4xe −1 se x < 0 xg(x) = k se x = 0 ln(x+ 1) se x > 0m−xDetermine os valores de k e de m.Resolução/critério de classificação:4xe −1Escrever k = lim.............................................................. 0,4−x→0 x4xe −1Escrever k = 4× lim......................................................... 0,6−4x→0 4xObter k = 4............................................................................ 0,24xln(x+ 1)e −1Escrever lim m− = lim......................................... 0,4+ −x→0x→0x xln(x+ 1)Escrever m− lim = 4.......................................................0,2+x→0 xuEscrever m− lim = 4 (considerando u = ln(x+ 1))............................. 0,6u+u→0e −1

aTurma: EMC1 T1 - 1. Prova Parcelar de Cálculo Dif. e Integral I - Pág. 5 de 5 05/05/20171Escrever m− lim = 4.......................................................... 0,2u+ e −1u→0uObter m−1 = 4....................................................................... 0,2Concluir que m = 5.................................................................... 0,25. (2 valores) Seja g uma função real de variável real contínua e injectiva, de domínio D.Considere que:• a ∈ D;• y = g(x) e g(a) = b;g(x)−g(a)= β (β ∈ R\ {0});•limx→a x−a−1•g é a função inversa de g.−1 −1g(y)−g(b)Calcule lim. Apresente o resultado em função de β.y→b y −b−1 −1g(y)−g(b)Sugestão: Comece por escrever lim em função da variável x.y→b y −bResolução/critério de classificação:−1 −1g(y)−g(b) x−a 1 1lim = lim = lim =.x→a x→ay→b g(x)−g(a)y−bg(x)−g(a) βx−a−1 −1g(y)−g(b) x−aEscrever lim = lim........................................ 1,2x→ay→by−b g(x)−g(a)1x−a= lim........................................... 0,6Escrever limx→ax→a g(x)−g(a)g(x)−g(a)x−a−1 −1g(y)−g(b) 1Concluir que lim =................................................. 0,2y→b y −b βFIM